Номер 28.13, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.13. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит не менее трёх корней уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$?

Для решения задачи сначала найдем все корни уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$.

Общее решение данного тригонометрического уравнения записывается в виде:$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем две серии корней:

1) $x_n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x_n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

По условию, параметр $a$ положителен ($a > 0$), и мы ищем корни на промежутке $[0; a]$. Следовательно, нам необходимо найти неотрицательные корни уравнения ($x \ge 0$) и расположить их в порядке возрастания.

Найдем неотрицательные корни для каждой серии:

Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, корни будут неотрицательными при $n \ge 0$. При $n=0: x_1 = \frac{\pi}{3}$. При $n=1: x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. При $n=2: x_5 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$, и так далее.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, корни будут неотрицательными при $n \ge 1$. При $n=1: x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. При $n=2: x_4 = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, и так далее.

Теперь расположим все найденные неотрицательные корни в порядке возрастания:$\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \dots$

Промежуток $[0; a]$ должен содержать не менее трёх корней. Это означает, что третий по величине неотрицательный корень должен принадлежать этому промежутку.

Первый корень: $\frac{\pi}{3}$.

Второй корень: $\frac{5\pi}{3}$.

Третий корень: $\frac{7\pi}{3}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал по меньшей мере три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше третьего корня. То есть, должно выполняться неравенство:$a \ge \frac{7\pi}{3}$.

Это условие также удовлетворяет требованию $a > 0$, так как $\frac{7\pi}{3} > 0$.

Ответ: $a \ge \frac{7\pi}{3}$ или в виде промежутка $a \in \left[\frac{7\pi}{3}; +\infty\right)$.