Номер 28.7, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.7. Сколько корней уравнения $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right] $?

Для начала решим тригонометрическое уравнение $ \cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для этого типа уравнений имеет вид:$ 3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отсюда получаем две серии решений для $x$:

1) $ 3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

2) $ 3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right] $. Для этого решим соответствующие двойные неравенства для каждой серии решений.

Для первой серии корней: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 1 $

Вычтем $ \frac{1}{18} $ из всех частей:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{1}{18} $

$ -\frac{9}{18} - \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{18}{18} - \frac{1}{18} $

$ -\frac{10}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{17}{18} $

$ -\frac{5}{9} \le \frac{2k}{3} \le \frac{17}{18} $

Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:

$ -\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{17}{18} \cdot \frac{3}{2} $

$ -\frac{5}{6} \le k \le \frac{17}{12} $

Приблизительные значения: $ -0.833... \le k \le 1.416... $. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $ k = 0 $ и $ k = 1 $. Следовательно, из этой серии в заданный промежуток попадают 2 корня.

Для второй серии корней: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

$ -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 1 $

Прибавим $ \frac{1}{18} $ ко всем частям:

$ -\frac{1}{2} + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 1 + \frac{1}{18} $

$ -\frac{9}{18} + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{18}{18} + \frac{1}{18} $

$ -\frac{8}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{19}{18} $

$ -\frac{4}{9} \le \frac{2k}{3} \le \frac{19}{18} $

Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:

$ -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{19}{18} \cdot \frac{3}{2} $

$ -\frac{2}{3} \le k \le \frac{19}{12} $

Приблизительные значения: $ -0.666... \le k \le 1.583... $. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $ k = 0 $ и $ k = 1 $. Следовательно, из этой серии в заданный промежуток также попадают 2 корня.

Таким образом, общее количество корней уравнения, принадлежащих промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right] $, равно $ 2 + 2 = 4 $.

Ответ: 4