Номер 28.6, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.6. Решите уравнение:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{9}-4x\right)=1;$

2) $\sqrt{2}\cos\left(\frac{x}{2}+3\right)+1=0.$

1) $ \cos(\frac{\pi}{9} - 4x) = 1 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos(t) = 1 $ имеет решение $ t = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{\pi}{9} - 4x $. Следовательно, мы можем записать:

$ \frac{\pi}{9} - 4x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выразим $ x $:

$ -4x = 2\pi n - \frac{\pi}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ 4x = \frac{\pi}{9} - 2\pi n $

Так как $ n $ — любое целое число ($ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots $), то $ -n $ также является любым целым числом. Поэтому мы можем заменить $ -n $ на $ k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, чтобы получить более привычную форму записи:

$ 4x = \frac{\pi}{9} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{9} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + 3) + 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$ \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + 3) = -1 $

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ t = \frac{x}{2} + 3 $, а $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставляем значения в общую формулу:

$ \frac{x}{2} + 3 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выразим $ x $:

$ \frac{x}{2} = -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ x = 2 \left( -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) $

$ x = -6 \pm \frac{2 \cdot 3\pi}{4} + 2 \cdot 2\pi n $

$ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.