Номер 27.29, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.29. Докажите неравенство $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \leq \frac{1}{8}$, где $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Обозначим левую часть неравенства как $P$:
$P = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$.

Поскольку $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, эти углы можно рассматривать как углы треугольника. Следовательно, $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi)$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$, и их синусы строго положительны.

Для преобразования произведения синусов воспользуемся тригонометрической формулой: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$. Применим ее к первым двум множителям в выражении для $P$:
$P = \left(\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right]\right) \sin\frac{\gamma}{2}$.

Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$. Используя формулу приведения, получаем:
$\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}$.

Подставим это выражение обратно в формулу для $P$:
$P = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin\frac{\gamma}{2}\right]\sin\frac{\gamma}{2}$.

Раскроем скобки:
$P = -\frac{1}{2}\sin^2\frac{\gamma}{2} + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\sin\frac{\gamma}{2}$.

Рассмотрим это выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $x = \sin\frac{\gamma}{2}$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Ее максимальное значение достигается в вершине. Чтобы найти этот максимум, выделим полный квадрат:
$P = -\frac{1}{2}\left[\sin^2\frac{\gamma}{2} - \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\sin\frac{\gamma}{2}\right]$
$P = -\frac{1}{2}\left[\left(\sin\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right)^2 - \frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right]$
$P = \frac{1}{8}\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right)^2$.

Проанализируем полученное выражение. Второй член, $-\frac{1}{2}(\dots)^2$, всегда неположителен (меньше или равен нулю), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
$-\frac{1}{2}\left(\sin\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\right)^2 \le 0$.

Первый член, $\frac{1}{8}\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$, ограничен сверху значением $\frac{1}{8}$, поскольку максимальное значение функции $\cos^2(x)$ равно 1.
$\frac{1}{8}\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \le \frac{1}{8}$.

Складывая эти два факта, получаем оценку для $P$:
$P = \frac{1}{8}\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \frac{1}{2}(\dots)^2 \le \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}$.
Таким образом, неравенство $\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} \le \frac{1}{8}$ доказано.

Равенство достигается, когда оба слагаемых в выражении для $P$ принимают свои максимальные значения. Это происходит при одновременном выполнении двух условий:
1) $\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1$. Так как $\alpha, \beta \in (0, \pi)$, то $-\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{\pi}{2}$, поэтому $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) > 0$. Следовательно, $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1$, что означает $\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$, то есть $\alpha = \beta$.
2) $\sin\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 0$.

Подставляя $\alpha = \beta$ (и, соответственно, $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1$) во второе условие, получаем:
$\sin\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}(1) = 0 \implies \sin\frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\gamma \in (0, \pi)$, то $\frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале единственное решение уравнения — это $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{6}$, откуда $\gamma = \frac{\pi}{3}$.

Наконец, из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ и того, что $\alpha = \beta$ и $\gamma = \frac{\pi}{3}$, находим:
$2\alpha + \frac{\pi}{3} = \pi \implies 2\alpha = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, равенство достигается при $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: Неравенство доказано.