Номер 27.26, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.26. Вычислите сумму:

1) $S = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \dots + \cos n\alpha;$

2) $S = \sin \alpha + \sin 3\alpha + \dots + \sin (2n - 1)\alpha;$

3) $S = \sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \dots + \sin^2 n\alpha.$

1) $S = \cos\alpha + \cos2\alpha + \dots + \cos n\alpha$

Для нахождения этой суммы воспользуемся методом умножения на $2\sin(\frac{\alpha}{2})$. Этот метод применим, если $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$, то есть $\alpha \neq 2\pi k$ для любого целого $k$.

Умножим обе части равенства на $2\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$2S\sin(\frac{\alpha}{2}) = 2\cos\alpha\sin(\frac{\alpha}{2}) + 2\cos2\alpha\sin(\frac{\alpha}{2}) + \dots + 2\cos n\alpha\sin(\frac{\alpha}{2})$

Применим формулу произведения синуса на косинус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$.

Для каждого слагаемого в сумме, где $k$ пробегает значения от $1$ до $n$, получаем:

$2\cos(k\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sin(k\alpha + \frac{\alpha}{2}) - \sin(k\alpha - \frac{\alpha}{2}) = \sin((k+\frac{1}{2})\alpha) - \sin((k-\frac{1}{2})\alpha)$

Теперь наша сумма принимает вид "телескопической" суммы, где промежуточные члены сокращаются:

$2S\sin(\frac{\alpha}{2}) = (\sin(\frac{3}{2}\alpha) - \sin(\frac{1}{2}\alpha)) + (\sin(\frac{5}{2}\alpha) - \sin(\frac{3}{2}\alpha)) + \dots + (\sin((n+\frac{1}{2})\alpha) - \sin((n-\frac{1}{2})\alpha))$

После сокращения всех промежуточных слагаемых остается только:

$2S\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sin((n+\frac{1}{2})\alpha) - \sin(\frac{1}{2}\alpha)$

Применим формулу разности синусов: $\sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$.

$2S\sin(\frac{\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{(n+\frac{1}{2})\alpha + \frac{1}{2}\alpha}{2})\sin(\frac{(n+\frac{1}{2})\alpha - \frac{1}{2}\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{(n+1)\alpha}{2})\sin(\frac{n\alpha}{2})$

Отсюда, при условии $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$, находим $S$:

$S = \frac{\cos(\frac{(n+1)\alpha}{2})\sin(\frac{n\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Рассмотрим случай, когда $\sin(\frac{\alpha}{2}) = 0$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2} = \pi k$, или $\alpha = 2\pi k$ для целого $k$.

В этом случае $\cos(m\alpha) = \cos(m \cdot 2\pi k) = 1$ для любого целого $m$.

Тогда исходная сумма равна:

$S = 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ слагаемых), то есть $S = n$.

Ответ: Если $\alpha = 2\pi k$ для некоторого целого $k$, то $S = n$. Если $\alpha \neq 2\pi k$, то $S = \frac{\cos(\frac{(n+1)\alpha}{2})\sin(\frac{n\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

2) $S = \sin\alpha + \sin3\alpha + \dots + \sin(2n-1)\alpha$

Аргументы синусов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha$ и разностью $2\alpha$. Умножим сумму на $2\sin(\alpha)$, где $\alpha$ - половина разности прогрессии. Метод работает, если $\sin(\alpha) \neq 0$, то есть $\alpha \neq \pi k$ для любого целого $k$.

$2S\sin(\alpha) = 2\sin\alpha\sin\alpha + 2\sin3\alpha\sin\alpha + \dots + 2\sin(2n-1)\alpha\sin\alpha$

Применим формулу произведения синусов: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

Для каждого слагаемого в сумме, где $k$ пробегает значения от $1$ до $n$, получаем:

$2\sin((2k-1)\alpha)\sin(\alpha) = \cos((2k-1)\alpha - \alpha) - \cos((2k-1)\alpha + \alpha) = \cos(2(k-1)\alpha) - \cos(2k\alpha)$

Сумма превращается в телескопическую:

$2S\sin(\alpha) = (\cos(0) - \cos(2\alpha)) + (\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)) + \dots + (\cos(2(n-1)\alpha) - \cos(2n\alpha))$

Промежуточные слагаемые сокращаются, и остается:

$2S\sin(\alpha) = \cos(0) - \cos(2n\alpha) = 1 - \cos(2n\alpha)$

Используя формулу косинуса двойного угла $1-\cos(2x) = 2\sin^2(x)$, получаем:

$2S\sin(\alpha) = 2\sin^2(n\alpha)$

Отсюда, при условии $\sin(\alpha) \neq 0$, находим $S$:

$S = \frac{\sin^2(n\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Рассмотрим случай, когда $\sin(\alpha) = 0$. Это означает, что $\alpha = \pi k$ для целого $k$.

В этом случае $\sin((2m-1)\alpha) = \sin((2m-1)\pi k) = 0$ для любых целых $m, k$.

Следовательно, все слагаемые в исходной сумме равны нулю, и $S = 0$.

Ответ: Если $\alpha = \pi k$ для некоторого целого $k$, то $S = 0$. Если $\alpha \neq \pi k$, то $S = \frac{\sin^2(n\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

3) $S = \sin^2\alpha + \sin^2 2\alpha + \dots + \sin^2 n\alpha$

Для решения используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому суммы:

$S = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2} + \dots + \frac{1 - \cos(2n\alpha)}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - \cos(2k\alpha)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 1 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos(2k\alpha)$

$S = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \dots + \cos(2n\alpha))$

Сумма косинусов в скобках является суммой вида, рассмотренного в пункте 1), где вместо $\alpha$ стоит $2\alpha$. Обозначим эту сумму $S_c$.

$S_c = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \dots + \cos(2n\alpha)$

Воспользуемся результатом из пункта 1), заменив $\alpha$ на $2\alpha$. Это возможно, если знаменатель в формуле не равен нулю, т.е. $\sin(\frac{2\alpha}{2}) = \sin(\alpha) \neq 0$, что означает $\alpha \neq \pi k$ для целого $k$.

$S_c = \frac{\cos(\frac{(n+1)2\alpha}{2})\sin(\frac{n \cdot 2\alpha}{2})}{\sin(\frac{2\alpha}{2})} = \frac{\cos((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Подставляем это выражение в формулу для $S$:

$S = \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{n}{2} - \frac{\cos((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{2\sin(\alpha)}$

Рассмотрим случай, когда $\sin(\alpha) = 0$. Это означает, что $\alpha = \pi k$ для целого $k$.

В этом случае $\sin(m\alpha) = \sin(m\pi k) = 0$ для любого целого $m$.

Тогда все слагаемые исходной суммы $\sin^2(k\alpha)$ равны 0. Следовательно, $S = 0$.

Ответ: Если $\alpha = \pi k$ для некоторого целого $k$, то $S = 0$. Если $\alpha \neq \pi k$, то $S = \frac{n}{2} - \frac{\cos((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{2\sin(\alpha)}$.