Номер 27.22, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.22. Вычислите сумму $S = \frac{1}{\sin 1 \sin 3} + \frac{1}{\sin 3 \sin 5} + \dots + \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)}.$

Данная сумма представляет собой конечный ряд, который можно записать с использованием знака суммирования:

$$ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Для вычисления этой суммы мы преобразуем общий член ряда $a_k = \frac{1}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)}$.

Заметим, что разность аргументов синусов в знаменателе является постоянной величиной: $(2k+1) - (2k-1) = 2$. Это наводит на мысль использовать тригонометрическую формулу синуса разности. Умножим и разделим общий член ряда на $\sin 2$:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin 2}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Теперь представим $\sin 2$ в числителе, используя разность аргументов: $\sin 2 = \sin((2k+1) - (2k-1))$.

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$$ \sin((2k+1) - (2k-1)) = \sin(2k+1)\cos(2k-1) - \cos(2k+1)\sin(2k-1) $$

Подставим это выражение обратно в формулу для $a_k$:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin(2k+1)\cos(2k-1) - \cos(2k+1)\sin(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Разделим дробь на две части:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \left( \frac{\sin(2k+1)\cos(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} - \frac{\cos(2k+1)\sin(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} \right) $$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе каждой дроби получаем:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \left( \frac{\cos(2k-1)}{\sin(2k-1)} - \frac{\cos(2k+1)}{\sin(2k+1)} \right) $$

Используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, мы можем записать $a_k$ в виде:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} (\cot(2k-1) - \cot(2k+1)) $$

Теперь исходная сумма $S$ становится телескопической суммой. Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{\sin 2}$ за знак суммы:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} \sum_{k=1}^{n} (\cot(2k-1) - \cot(2k+1)) $$

Распишем слагаемые этой суммы для нескольких первых и последнего значения $k$:

Для $k=1$: $\cot(1) - \cot(3)$

Для $k=2$: $\cot(3) - \cot(5)$

Для $k=3$: $\cot(5) - \cot(7)$

...

Для $k=n$: $\cot(2n-1) - \cot(2n+1)$

При сложении всех этих слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\cot 3$ из первого слагаемого и $+\cot 3$ из второго). В результате остаются только первый член от первого слагаемого и последний член от последнего слагаемого:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} [(\cot 1 - \cot 3) + (\cot 3 - \cot 5) + \dots + (\cot(2n-1) - \cot(2n+1))] $$

$$ S = \frac{1}{\sin 2} (\cot 1 - \cot(2n+1)) $$

Для упрощения этого выражения представим котангенсы через синусы и косинусы и приведем к общему знаменателю:

$$ \cot 1 - \cot(2n+1) = \frac{\cos 1}{\sin 1} - \frac{\cos(2n+1)}{\sin(2n+1)} = \frac{\sin(2n+1)\cos 1 - \cos(2n+1)\sin 1}{\sin 1 \sin(2n+1)} $$

Числитель этой дроби снова является формулой синуса разности для углов $(2n+1)$ и $1$:

$$ \sin(2n+1)\cos 1 - \cos(2n+1)\sin 1 = \sin((2n+1) - 1) = \sin(2n) $$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для суммы $S$:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin(2n+1)} $$

Окончательно получаем:

$$ S = \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin 2 \sin(2n+1)} $$

Ответ: $S = \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin 2 \sin(2n+1)}$