Номер 27.16, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.16. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то имеет место тождество:

1) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2};$

2) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma;$

3) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2};$

4) $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma;$

5) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

1)
Начнем с левой части тождества и преобразуем ее, используя тригонометрические формулы.
$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$
Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$(\sin\alpha + \sin\beta) + \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\gamma$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin\gamma = 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, и $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получаем:
$\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \cos\frac{\gamma}{2}$
Подставим это в наше выражение:
$2\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2})$
Теперь преобразуем $\sin\frac{\gamma}{2}$. Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ следует $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$.
Снова используем формулу приведения: $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$2\cos\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2})$
К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos(-\frac{\beta}{2}) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Подставляем результат в наше основное выражение:
$2\cos\frac{\gamma}{2} \cdot (2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}) = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$

2)
Преобразуем левую часть тождества.
$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma$
Применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым:
$(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \sin 2\gamma = 2\sin\frac{2\alpha+2\beta}{2}\cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} + \sin 2\gamma = 2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.
Поэтому $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma$.
Подставим это в выражение:
$2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Вынесем за скобки $2\sin\gamma$:
$2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma)$
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, поэтому $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки:
$2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2\sin\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin(-\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$
Подставим результат в наше основное выражение:
$2\sin\gamma \cdot (2\sin\alpha\sin\beta) = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

3)
Преобразуем левую часть тождества.
$\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma$
Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым:
$(\cos\alpha + \cos\beta) + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\gamma$
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$:
$2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$, получаем:
$\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \sin\frac{\gamma}{2}$
Подставим это в выражение:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$
Вынесем за скобки $2\sin\frac{\gamma}{2}$:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2})$
Из условия $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$, тогда $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2})$
К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = -2\sin\frac{\alpha}{2}\sin(-\frac{\beta}{2}) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$
Подставляем результат в наше основное выражение:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2} \cdot (2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}) = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$
Тождество доказано.
Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$

4)
Рассмотрим левую часть тождества.
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$
Применим формулу суммы косинусов:
$(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) + \cos 2\gamma = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\gamma = 2\cos^2\gamma - 1$:
$2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1$
Из условия $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, тогда $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma$.
Подставляем:
$-1 + 2(-\cos\gamma)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma = -1 - 2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma$
Вынесем за скобки $-2\cos\gamma$:
$-1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma)$
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, тогда $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки:
$-1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = -1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos(-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$
Подставим результат в наше основное выражение:
$-1 - 2\cos\gamma \cdot (2\cos\alpha\cos\beta) = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$

5)
Преобразуем левую часть тождества.
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
Поэтому $\sin\gamma = \sin(\pi - (\alpha+\beta)) = \sin(\alpha+\beta)$.
Подставим это в выражение:
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2(\alpha+\beta)$
Раскроем синус суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)^2$
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - (\sin^2\alpha\cos^2\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta)$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\beta) + (\sin^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Вынесем общие множители:
$\sin^2\alpha(1 - \cos^2\beta) + \sin^2\beta(1 - \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2x = \sin^2x$:
$\sin^2\alpha\sin^2\beta + \sin^2\beta\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
$2\sin^2\alpha\sin^2\beta - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Вынесем за скобки $2\sin\alpha\sin\beta$:
$2\sin\alpha\sin\beta(\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta)$
Выражение в скобках равно $-(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Получаем:
$2\sin\alpha\sin\beta(-\cos(\alpha+\beta))$
Так как $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma$.
Подставим это в выражение:
$2\sin\alpha\sin\beta(-(-\cos\gamma)) = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$