Номер 27.14, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.14. Упростите выражение:

1) $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$

2) $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha) \cos75^\circ$

1) Упростим выражение $sin^2\alpha + sin^2\beta + cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов, которая является следствием формул суммы и разности углов: $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Доказательство этой формулы:

$cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) = (cos\alpha cos\beta)^2 - (sin\alpha sin\beta)^2$

$= cos^2\alpha cos^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta = cos^2\alpha(1 - sin^2\beta) - (1 - cos^2\alpha)sin^2\beta$

$= cos^2\alpha - cos^2\alpha sin^2\beta - sin^2\beta + cos^2\alpha sin^2\beta = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставим полученное тождество в исходное выражение:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + (cos^2\alpha - sin^2\beta)$

Раскроем скобки и сократим подобные члены:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + cos^2\alpha - sin^2\beta = sin^2\alpha + cos^2\alpha$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Ответ: 1.

2) Упростим выражение $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$.

Преобразуем первую часть выражения, используя формулу разности квадратов косинусов: $cos^2A - cos^2B = sin(B-A)sin(B+A)$.

Пусть $A = 45^\circ - \alpha$ и $B = 60^\circ + \alpha$. Найдем $B-A$ и $B+A$:

$B - A = (60^\circ + \alpha) - (45^\circ - \alpha) = 15^\circ + 2\alpha$

$B + A = (60^\circ + \alpha) + (45^\circ - \alpha) = 105^\circ$

Таким образом, $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) = sin(15^\circ + 2\alpha)sin(105^\circ)$.

Теперь все выражение имеет вид:

$sin(15^\circ + 2\alpha)sin(105^\circ) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$

Воспользуемся формулами приведения для упрощения углов. Заметим, что $105^\circ = 180^\circ - 75^\circ$, поэтому $sin(105^\circ) = sin(180^\circ - 75^\circ) = sin(75^\circ)$.

Выражение принимает вид:

$sin(15^\circ + 2\alpha)sin(75^\circ) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$

Применим формулы приведения для дополнительных углов ($90^\circ - x$):

$sin(75^\circ) = sin(90^\circ - 15^\circ) = cos(15^\circ)$

$cos(75^\circ) = cos(90^\circ - 15^\circ) = sin(15^\circ)$

$sin(75^\circ - 2\alpha) = sin(90^\circ - (15^\circ + 2\alpha)) = cos(15^\circ + 2\alpha)$

Подставим эти преобразования в выражение:

$sin(15^\circ + 2\alpha)cos(15^\circ) - cos(15^\circ + 2\alpha)sin(15^\circ)$

Полученное выражение является формулой синуса разности: $sin(X - Y) = sinXcosY - cosXsinY$, где $X = 15^\circ + 2\alpha$ и $Y = 15^\circ$.

Следовательно:

$sin((15^\circ + 2\alpha) - 15^\circ) = sin(2\alpha)$

Ответ: $sin(2\alpha)$.