Номер 27.7, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.7. Докажите тождество:

1) $\cos^2\alpha - \cos^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha)$;

2) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha$;

3) $\frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1} = 2\cos \alpha$;

4) $\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 1 + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} \alpha$;

5) $\frac{(\cos \alpha - \cos 3\alpha)(\sin \alpha + \sin 3\alpha)}{1 - \cos 4\alpha} = \sin 2\alpha$.

1)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \beta) - (\beta - \alpha)) - \cos((\alpha + \beta) + (\beta - \alpha))) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(2\beta))$

Далее применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$:

$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(2\beta)) = \frac{1}{2}((2\cos^2\alpha - 1) - (2\cos^2\beta - 1)) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha - 1 - 2\cos^2\beta + 1) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha - 2\cos^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\beta$

Полученное выражение равно левой части тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ:

2)

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

Числитель:

$(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha = 2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Знаменатель:

$(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos3\alpha + 2\cos4\alpha\cos\alpha = 2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)} = \frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

3)

Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha - 1 = \cos2\alpha$:

$\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 = \cos\alpha + \cos2\alpha$

Теперь преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые и применим формулы $1+\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ и суммы косинусов:

$1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha = (1 + \cos2\alpha) + (\cos\alpha + \cos3\alpha) = 2\cos^2\alpha + 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos^2\alpha + 2\cos2\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)}{\cos\alpha + \cos2\alpha} = 2\cos\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

4)

Преобразуем левую часть равенства. Упростим числитель:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + \sin4\alpha = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1 + \sin4\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$, получаем:

$(1 - \sin2\alpha) - 1 + \sin4\alpha = \sin4\alpha - \sin2\alpha$

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin4\alpha - \sin2\alpha = 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\sin\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\sin\alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:

$\cos2\alpha + \cos4\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos\alpha$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos3\alpha\sin\alpha}{2\cos3\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

5)

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулы разности и суммы тригонометрических функций для множителей в числителе:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$

$\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos(-\alpha) = 2\sin2\alpha\cos\alpha$

Перемножим полученные выражения:

$(2\sin2\alpha\sin\alpha)(2\sin2\alpha\cos\alpha) = 4\sin^22\alpha\sin\alpha\cos\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$:

$1 - \cos4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin^22\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2(2\alpha)} = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$, получаем:

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: