Номер 27.6, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.6. Упростите выражение:

1) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha$;

2) $\sin \alpha - 2 \sin \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right)$.

1) Для упрощения выражения $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.

В нашем случае $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому:

$2\sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$.

Сокращаем $\cos3\alpha$ и $-\cos3\alpha$:

$\cos\alpha - \cos3\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$

2) Для упрощения выражения $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$ воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.

В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $y = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$. Применим формулу к вычитаемому:

$x+y = \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

$x-y = \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, $2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin(\alpha) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$, и значение $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то:

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Значит, вычитаемое равно $\sin\alpha - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sin\alpha - \left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right) = \sin\alpha - \sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$