Номер 27.3, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.3. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\cos\alpha$;

2) $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$;

3) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$;

4) $\sqrt{3} + \operatorname{ctg}\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель 2 за скобки: $1 - 2\cos\alpha = 2(\frac{1}{2} - \cos\alpha)$. Число $\frac{1}{2}$ можно представить как значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$, то есть $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставим это в выражение: $2(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha)$. Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. Применим ее к выражению в скобках, где $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$: $2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$. Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin z$, можно записать $\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$. Тогда окончательное выражение будет: $-4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(-\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$.
Ответ: $4\sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6})$.

2) Преобразуем выражение $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$. Вынесем 2 за скобки: $\sqrt{3} + 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha)$. Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{6}$: $2(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha)$. Применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$: $2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$. Так как косинус является четной функцией, то $\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$. Поэтому ответ можно записать и так: $4\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$.
Ответ: $4\cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12})\cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$.

3) Преобразуем выражение $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки: $1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha)$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\sin\frac{\pi}{4}$: $\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha)$. Применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. Здесь $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$: $\sqrt{2} \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{3} + \cot\alpha$. Сначала заменим $\cot\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и приведем к общему знаменателю: $\sqrt{3} + \cot\alpha = \sqrt{3} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}$. Теперь преобразуем числитель $\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$, используя метод введения вспомогательного угла. Коэффициент $R$ равен $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Вынесем его за скобки: $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha\right)$. Заменим коэффициенты в скобках на значения тригонометрических функций: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. $2\left(\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha\right)$. Выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Следовательно, числитель равен $2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: $\frac{2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})}{\sin\alpha}$.