Номер 26.49, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.49. Докажите, что $\cos 20^\circ$ – иррациональное число.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что $\cos{20^{\circ}}$ является рациональным числом.

Рассмотрим формулу косинуса тройного угла: $\cos{(3\alpha)} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha}$.

Пусть $\alpha = 20^{\circ}$, тогда $3\alpha = 60^{\circ}$. Как известно, $\cos{60^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в формулу:
$\cos{60^{\circ}} = 4\cos^3{20^{\circ}} - 3\cos{20^{\circ}}$
$\frac{1}{2} = 4\cos^3{20^{\circ}} - 3\cos{20^{\circ}}$

Обозначим $x = \cos{20^{\circ}}$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$\frac{1}{2} = 4x^3 - 3x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами:
$1 = 8x^3 - 6x$
$8x^3 - 6x - 1 = 0$

Таким образом, число $\cos{20^{\circ}}$ является корнем многочлена $P(x) = 8x^3 - 6x - 1$ с целыми коэффициентами.

Согласно нашему предположению, $x = \cos{20^{\circ}}$ — рациональное число. По теореме о рациональных корнях многочлена, если рациональное число $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента.

В нашем уравнении свободный член равен -1, а старший коэффициент равен 8.
Возможные значения для числителя $p$ (делители -1): $\pm 1$.
Возможные значения для знаменателя $q$ (натуральные делители 8): $1, 2, 4, 8$.

Следовательно, все возможные рациональные корни уравнения: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения $8x^3 - 6x - 1 = 0$:
При $x=1$: $8(1)^3 - 6(1) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1 \neq 0$.
При $x=-1$: $8(-1)^3 - 6(-1) - 1 = -8 + 6 - 1 = -3 \neq 0$.
При $x=\frac{1}{2}$: $8(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2}) - 1 = 8(\frac{1}{8}) - 3 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \neq 0$.
При $x=-\frac{1}{2}$: $8(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2}) - 1 = 8(-\frac{1}{8}) + 3 - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 \neq 0$.
При $x=\frac{1}{4}$: $8(\frac{1}{4})^3 - 6(\frac{1}{4}) - 1 = 8(\frac{1}{64}) - \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{19}{8} \neq 0$.
При $x=-\frac{1}{4}$: $8(-\frac{1}{4})^3 - 6(-\frac{1}{4}) - 1 = 8(-\frac{1}{64}) + \frac{3}{2} - 1 = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{3}{8} \neq 0$.
При $x=\frac{1}{8}$: $8(\frac{1}{8})^3 - 6(\frac{1}{8}) - 1 = 8(\frac{1}{512}) - \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{64} - \frac{48}{64} - \frac{64}{64} = -\frac{111}{64} \neq 0$.
При $x=-\frac{1}{8}$: $8(-\frac{1}{8})^3 - 6(-\frac{1}{8}) - 1 = 8(-\frac{1}{512}) + \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{64} + \frac{48}{64} - \frac{64}{64} = -\frac{17}{64} \neq 0$.

Ни один из кандидатов в рациональные корни не удовлетворяет уравнению. Это означает, что у уравнения $8x^3 - 6x - 1 = 0$ нет рациональных корней.

Мы пришли к противоречию, так как $\cos{20^{\circ}}$ является корнем этого уравнения, но не является ни одним из возможных рациональных корней. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $\cos{20^{\circ}}$ — рациональное число, неверно.

Таким образом, доказано, что $\cos{20^{\circ}}$ — иррациональное число.

Ответ: Утверждение доказано.