gdz.top
Номер 26.44, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 26. Формулы двойного, тройного и половинного углов - номер 26.44, страница 194.
№26.43
№26.44 (с. 194)
Условие. №26.44 (с. 194)
26.44. Докажите тождество $\sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \frac{3}{4} \sin 8\alpha$.
Решение. №26.44 (с. 194)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $sin^3(2\alpha)cos(6\alpha) + cos^3(2\alpha)sin(6\alpha)$.
Воспользуемся формулами тройного угла, представив $6\alpha$ как $3 \cdot (2\alpha)$:
$cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) \implies cos(6\alpha) = 4cos^3(2\alpha) - 3cos(2\alpha)$
$sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x) \implies sin(6\alpha) = 3sin(2\alpha) - 4sin^3(2\alpha)$
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$sin^3(2\alpha)(4cos^3(2\alpha) - 3cos(2\alpha)) + cos^3(2\alpha)(3sin(2\alpha) - 4sin^3(2\alpha))$
Раскроем скобки:
$4sin^3(2\alpha)cos^3(2\alpha) - 3sin^3(2\alpha)cos(2\alpha) + 3cos^3(2\alpha)sin(2\alpha) - 4cos^3(2\alpha)sin^3(2\alpha)$
Приведем подобные слагаемые. Первое и последнее слагаемые взаимно уничтожаются:
$3cos^3(2\alpha)sin(2\alpha) - 3sin^3(2\alpha)cos(2\alpha)$
Вынесем за скобки общий множитель $3sin(2\alpha)cos(2\alpha)$:
$3sin(2\alpha)cos(2\alpha)(cos^2(2\alpha) - sin^2(2\alpha))$
Теперь воспользуемся формулами двойного угла:
$sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, откуда $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$
$cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$
Применяя эти формулы к нашему выражению, получаем:
$3 \cdot \left(\frac{1}{2}sin(2 \cdot 2\alpha)\right) \cdot (cos(2 \cdot 2\alpha)) = \frac{3}{2}sin(4\alpha)cos(4\alpha)$
Снова применим формулу синуса двойного угла для выражения $sin(4\alpha)cos(4\alpha)$:
$\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}sin(2 \cdot 4\alpha)\right) = \frac{3}{4}sin(8\alpha)$
Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество $sin^3(2\alpha)cos(6\alpha) + cos^3(2\alpha)sin(6\alpha) = \frac{3}{4}sin(8\alpha)$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 26.44 расположенного на странице 194 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26.44 (с. 194), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.