Номер 26.41, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.41. Докажите, что:

1) $4 \sin \alpha \sin (60^{\circ} - \alpha) \sin (60^{\circ} + \alpha) = \sin 3\alpha;$

2) $16 \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 80^{\circ} = 3;$

3) $\frac{4 \sin 20^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = 1.$

1) Докажем тождество $4 \sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \sin 3\alpha$.

Рассмотрим левую часть равенства. Используем формулы синуса суммы и разности:

$\sin(60^\circ - \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha$.

$\sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha$.

Перемножим эти два выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\sin(60^\circ - \alpha)\sin(60^\circ + \alpha) = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha)^2 - (\frac{1}{2} \sin \alpha)^2 = \frac{3}{4} \cos^2 \alpha - \frac{1}{4} \sin^2 \alpha$.

Теперь подставим это произведение в исходное выражение для левой части:

$4 \sin \alpha (\frac{3}{4} \cos^2 \alpha - \frac{1}{4} \sin^2 \alpha) = \sin \alpha (3 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.

Раскроем скобки и используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$3 \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin^3 \alpha = 3 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^3 \alpha$.

$3 \sin \alpha - 3 \sin^3 \alpha - \sin^3 \alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$.

Полученное выражение является формулой синуса тройного угла: $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$.

Таким образом, левая часть равна $\sin 3\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем равенство $16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 3$.

Рассмотрим левую часть равенства. Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение:

$16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 80^\circ = 8\sqrt{3} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$.

Воспользуемся тождеством, доказанным в пункте 1: $4 \sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \sin 3\alpha$.

Из него следует, что $\sin \alpha \sin(60^\circ - \alpha) \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin 3\alpha$.

Пусть $\alpha = 20^\circ$. Тогда:

$60^\circ - \alpha = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$

$60^\circ + \alpha = 60^\circ + 20^\circ = 80^\circ$

Таким образом, произведение синусов в нашем выражении соответствует этому тождеству:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ$.

Подставим это обратно в преобразуемое выражение:

$8\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{4} \sin 60^\circ) = 2\sqrt{3} \sin 60^\circ$.

Снова подставляем значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Левая часть равна 3, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Докажем равенство $\frac{4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ} = 1$.

Рассмотрим числитель дроби: $4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.

Сгруппируем множители и воспользуемся формулой произведения синусов $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

Применим её для $A=70^\circ$ и $B=20^\circ$:

$2 \sin 70^\circ \sin 20^\circ = \cos(70^\circ - 20^\circ) - \cos(70^\circ + 20^\circ) = \cos 50^\circ - \cos 90^\circ$.

Так как $\cos 90^\circ = 0$, получаем $2 \sin 70^\circ \sin 20^\circ = \cos 50^\circ$.

Теперь подставим это в выражение для числителя:

$4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 2 \sin 50^\circ \cdot (2 \sin 20^\circ \sin 70^\circ) = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$.

Числитель = $\sin(2 \cdot 50^\circ) = \sin 100^\circ$.

Теперь вернемся к исходной дроби:

$\frac{\sin 100^\circ}{\sin 80^\circ}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{\sin 80^\circ}{\sin 80^\circ} = 1$.

Левая часть равна 1, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.