Номер 26.35, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.35. Выразите через $cos 4\alpha$:

1) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$;

2) $sin^8 \alpha + cos^8 \alpha$.

1) sin⁴ α + cos⁴ α;

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством. Представим выражение как неполный квадрат суммы:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha)^2 + (cos^2\alpha)^2 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Так как основное тригонометрическое тождество гласит $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$1^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2(sin\alpha cos\alpha)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$. Отсюда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - 2(\frac{sin(2\alpha)}{2})^2 = 1 - 2\frac{sin^2(2\alpha)}{4} = 1 - \frac{sin^2(2\alpha)}{2}$

Нам нужно выразить результат через $cos(4\alpha)$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2x$. Применив ее для $x = 2\alpha$, получим $cos(4\alpha) = 1 - 2sin^2(2\alpha)$.

Из этой формулы выразим $sin^2(2\alpha)$: $2sin^2(2\alpha) = 1 - cos(4\alpha)$, следовательно, $sin^2(2\alpha) = \frac{1 - cos(4\alpha)}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - \frac{\frac{1 - cos(4\alpha)}{2}}{2} = 1 - \frac{1 - cos(4\alpha)}{4} = \frac{4 - (1 - cos(4\alpha))}{4} = \frac{4 - 1 + cos(4\alpha)}{4} = \frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$

Ответ: $\frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$

2) sin⁸ α + cos⁸ α;

Для решения этой задачи поступим аналогично первому пункту, представив выражение как неполный квадрат суммы:

$sin^8\alpha + cos^8\alpha = (sin^4\alpha)^2 + (cos^4\alpha)^2 = (sin^4\alpha + cos^4\alpha)^2 - 2sin^4\alpha cos^4\alpha$

Из первого пункта мы уже знаем, что $sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$.

Теперь преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла:

$2sin^4\alpha cos^4\alpha = 2(sin\alpha cos\alpha)^4 = 2(\frac{sin(2\alpha)}{2})^4 = 2\frac{sin^4(2\alpha)}{16} = \frac{sin^4(2\alpha)}{8}$

Из решения первого пункта мы также знаем, что $sin^2(2\alpha) = \frac{1 - cos(4\alpha)}{2}$. Возведем это выражение в квадрат, чтобы найти $sin^4(2\alpha)$:

$sin^4(2\alpha) = (sin^2(2\alpha))^2 = (\frac{1 - cos(4\alpha)}{2})^2 = \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{4}$

Теперь подставим все найденные выражения в исходную формулу:

$(sin^4\alpha + cos^4\alpha)^2 - 2sin^4\alpha cos^4\alpha = (\frac{3 + cos(4\alpha)}{4})^2 - \frac{\frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{4}}{8}$

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

$\frac{(3 + cos(4\alpha))^2}{16} - \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{9 + 6cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{16} - \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$

$\frac{2(9 + 6cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)) - (1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha))}{32}$

$\frac{18 + 12cos(4\alpha) + 2cos^2(4\alpha) - 1 + 2cos(4\alpha) - cos^2(4\alpha)}{32}$

$\frac{17 + 14cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$

Ответ: $\frac{17 + 14cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$