Номер 26.36, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.36. Вычислите $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, если $\alpha = \frac{\pi}{24}$.

Для решения задачи сначала упростим данное тригонометрическое выражение $sin^6 \alpha + cos^6 \alpha$.

Мы можем рассматривать это выражение как сумму кубов, используя формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = sin^2 \alpha$ и $b = cos^2 \alpha$.

$sin^6 \alpha + cos^6 \alpha = (sin^2 \alpha)^3 + (cos^2 \alpha)^3 = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)((sin^2 \alpha)^2 - sin^2 \alpha cos^2 \alpha + (cos^2 \alpha)^2)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается:

$1 \cdot (sin^4 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^4 \alpha) = sin^4 \alpha + cos^4 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Теперь преобразуем сумму $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$, выделив полный квадрат:

$sin^4 \alpha + cos^4 \alpha = (sin^2 \alpha)^2 + 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha + (cos^2 \alpha)^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Снова применяя тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 1 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Подставим это обратно в наше выражение:

$sin^6 \alpha + cos^6 \alpha = (1 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha) - sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 1 - 3sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$. Отсюда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$, и, следовательно, $sin^2\alpha cos^2\alpha = \frac{sin^2(2\alpha)}{4}$.

Тогда выражение принимает вид:

$1 - 3\frac{sin^2(2\alpha)}{4}$

Чтобы это выражение было удобнее вычислять, применим формулу понижения степени $sin^2\theta = \frac{1 - cos(2\theta)}{2}$. Для нашего случая $\theta = 2\alpha$:

$1 - \frac{3}{4} \left(\frac{1 - cos(2 \cdot 2\alpha)}{2}\right) = 1 - \frac{3(1 - cos(4\alpha))}{8} = \frac{8 - (3 - 3cos(4\alpha))}{8} = \frac{5 + 3cos(4\alpha)}{8}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него данное значение $\alpha = \frac{\pi}{24}$.

Найдем значение $4\alpha$:

$4\alpha = 4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим найденное значение в итоговую формулу:

$\frac{5 + 3cos(4\alpha)}{8} = \frac{5 + 3cos(\frac{\pi}{6})}{8}$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, производим вычисление:

$\frac{5 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{\frac{10 + 3\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: $\frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$.