Номер 26.32, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.32. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)}$

2) $\frac{\sin^2 (\alpha - \pi) - 4\cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2 \left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) - 4 + 4\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}\right)}$

3) $\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}$

4) $\frac{\text{tg} \left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha}$

1) Упростим знаменатель выражения. Для начала преобразуем разность квадратов котангенса и тангенса:
$ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $
Числитель полученной дроби является разностью квадратов: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha $.
Тогда $ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $.
Теперь преобразуем знаменатель исходного выражения. Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, имеем $ \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
$ \sin^2 2\alpha(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 4\cos 2\alpha $.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{\cos 2\alpha}{4\cos 2\alpha} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и другие тригонометрические тождества.
Упростим числитель: $ \sin^2(\alpha - \pi) - 4\cos^2(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) $.
$ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha $, следовательно $ \sin^2(\alpha - \pi) = \sin^2\alpha $.
$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = -\sin\frac{\alpha}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Числитель принимает вид: $ \sin^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $, получаем $ \sin^2\alpha = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} $.
$ 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}(\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1) = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}(-\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\sin^4\frac{\alpha}{2} $.
Упростим знаменатель: $ \cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{2}) - 4 + 4\cos^2(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) $.
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $, следовательно $ \cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \sin^2\alpha $.
$ \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) = -\sin\frac{\alpha}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) = \sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Знаменатель принимает вид: $ \sin^2\alpha - 4 + 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Используя формулу понижения степени $ 2\sin^2x = 1 - \cos 2x $, получаем $ 4\sin^2\frac{\alpha}{2} = 2(1 - \cos\alpha) = 2 - 2\cos\alpha $.
$ \sin^2\alpha - 4 + 2 - 2\cos\alpha = \sin^2\alpha - 2\cos\alpha - 2 = (1-\cos^2\alpha) - 2\cos\alpha - 2 = -(\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 1) = -(\cos\alpha + 1)^2 $.
Теперь составим дробь из упрощенных числителя и знаменателя:
$ \frac{-4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{-(\cos\alpha + 1)^2} = \frac{4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{(\cos\alpha + 1)^2} $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $, получаем $ \cos\alpha + 1 = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $.
Тогда $ (\cos\alpha + 1)^2 = (2\cos^2\frac{\alpha}{2})^2 = 4\cos^4\frac{\alpha}{2} $.
Окончательно получаем: $ \frac{4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{4\cos^4(\frac{\alpha}{2})} = \text{tg}^4(\frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ \text{tg}^4(\frac{\alpha}{2}) $.

3) Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ \sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) $.
Воспользуемся формулой произведения синусов $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.
Пусть $ A = \frac{\pi}{4}+\alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4}-\alpha $. Тогда $ A - B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) - (\frac{\pi}{4}-\alpha) = 2\alpha $ и $ A + B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) + (\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{\pi}{2} $.
$ \sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - 0) = \frac{1}{2}\cos 2\alpha $.
Знаменатель: $ \sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha $.
Это формула синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
$ \sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha $.
Теперь поделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg} 2\alpha $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\text{ctg} 2\alpha $.

4) Упростим числитель и знаменатель выражения.
Знаменатель: $ 1 - 2\cos^2 4\alpha = -(2\cos^2 4\alpha - 1) $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, получаем:
$ -(2\cos^2 4\alpha - 1) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $.
Числитель: $ \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha)\sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) $.
Используем формулы приведения:
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.
$ \sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4} + 4\alpha) = -\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $, поэтому $ \sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Числитель принимает вид: $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Выразим тангенс через синус и косинус: $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)} $.
По формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $, имеем $ \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Тогда $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} $.
Подставляем это в числитель: $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Как и в задаче 3), это произведение равно $ \frac{1}{2}\cos(2 \cdot 4\alpha) = \frac{1}{2}\cos(8\alpha) $.
Теперь составим дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos(8\alpha)}{-\cos(8\alpha)} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.