Номер 26.31, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.31. Упростите выражение:

1) $\cos^4 \alpha - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha;$

2) $\frac{2\sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{1 + \text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)};$

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4 \alpha - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha};$

4) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)}.$

192

1) $\cos^4\alpha - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha$

Сгруппируем первый и последний члены и добавим и вычтем $2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$, чтобы выделить полный квадрат суммы:

$(\cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha) - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Первые три члена образуют квадрат суммы $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Выражение можно переписать как:

$1 - 2 \cdot (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, где $x=2\alpha$.

Следовательно, $1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

Ответ: $\cos(4\alpha)$.

2) $\frac{2\sin4\alpha(1-\text{tg}^2 2\alpha)}{1+\text{ctg}^2(\frac{\pi}{2}+2\alpha)}$

Рассмотрим знаменатель. Применим формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}+x) = -\text{tg}(x)$:

$1+\text{ctg}^2(\frac{\pi}{2}+2\alpha) = 1+(-\text{tg}(2\alpha))^2 = 1+\text{tg}^2(2\alpha)$

Используя тождество $1+\text{tg}^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$, получаем:

$1+\text{tg}^2(2\alpha) = \frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$

Теперь рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках:

$1-\text{tg}^2(2\alpha) = 1 - \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha)-\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Выражение в числителе дроби является формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, где $x=2\alpha$. Таким образом:

$1-\text{tg}^2(2\alpha) = \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Весь числитель равен:

$2\sin(4\alpha) \cdot \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{2\sin(4\alpha) \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}}{\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}} = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, где $x=4\alpha$, получаем:

$2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha)$

Ответ: $\sin(8\alpha)$.

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha}$

Упростим числитель. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$:

$\sin^2 2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\sin^4\alpha$

Теперь упростим знаменатель. Также заменим $\sin^2(2\alpha)$:

$4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha$

Сгруппируем первое и последнее слагаемые и вынесем 4 за скобки:

$4(1-\sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Вынесем $4\cos^2\alpha$ за скобки:

$4\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^4 = \text{tg}^4\alpha$

Ответ: $\text{tg}^4\alpha$.

4) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4}+4\alpha)\cos^2(\frac{5\pi}{4}-4\alpha)}$

Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:

$2\sin^2 4\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2 4\alpha) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha)$

Теперь упростим знаменатель. Обозначим $A = \frac{\pi}{4}+4\alpha$ и $B = \frac{5\pi}{4}-4\alpha$.

Найдем сумму углов $A$ и $B$:

$A+B = (\frac{\pi}{4}+4\alpha) + (\frac{5\pi}{4}-4\alpha) = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

Отсюда $B = \frac{3\pi}{2} - A$.

Знаменатель имеет вид $2\text{ctg}(A)\cos^2(B)$. Подставим выражение для $B$:

$2\text{ctg}(A)\cos^2(\frac{3\pi}{2} - A)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2}-x) = -\sin(x)$. Тогда $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-A) = (-\sin A)^2 = \sin^2 A$.

Знаменатель превращается в:

$2\text{ctg}(A) \sin^2 A = 2 \frac{\cos A}{\sin A} \sin^2 A = 2\sin A\cos A$

Это формула синуса двойного угла, $2\sin A\cos A = \sin(2A)$.

Подставим обратно $A = \frac{\pi}{4}+4\alpha$:

$\sin(2A) = \sin(2(\frac{\pi}{4}+4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2}+8\alpha)$

Снова используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos(x)$:

$\sin(\frac{\pi}{2}+8\alpha) = \cos(8\alpha)$

Итак, знаменатель равен $\cos(8\alpha)$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{-\cos(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} = -1$

Ответ: $-1$.