Номер 26.24, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.24. Дано: $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $135^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin \alpha$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся тригонометрическими формулами и информацией о знаках тригонометрических функций в разных четвертях.

1. Определение диапазона для угла $2\alpha$
По условию нам дан диапазон для угла $\alpha$: $135^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.
Чтобы найти диапазон для угла $2\alpha$, умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 135^{\circ} < 2\alpha < 2 \cdot 180^{\circ}$
$270^{\circ} < 2\alpha < 360^{\circ}$
Этот диапазон соответствует четвертой координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен (что соответствует условию $\sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$), а косинус положителен.

2. Нахождение $\cos(2\alpha)$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
$\cos^2(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha)$
Подставим известное значение $\sin(2\alpha)$: $\cos^2(2\alpha) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Отсюда $\cos(2\alpha) = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Поскольку угол $2\alpha$ находится в четвертой четверти, его косинус должен быть положительным. Таким образом, $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.

3. Нахождение $\sin(\alpha)$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, которая связывает $\cos(2\alpha)$ и $\sin(\alpha)$: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Подставим найденное значение $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в формулу:
$\frac{1}{2} = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\sin^2(\alpha)$: $2\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{2}$
$2\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{4}$
Следовательно, $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

4. Выбор правильного знака для $\sin(\alpha)$
По условию, $135^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Этот диапазон соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус имеет положительное значение.
Поэтому мы выбираем знак «+».
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$