gdz.top
Номер 26.21, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 26. Формулы двойного, тройного и половинного углов - номер 26.21, страница 192.
№26.20
№26.21 (с. 192)
Условие. №26.21 (с. 192)
26.21. Докажите, что $\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = 2\sqrt{3}$.
Решение. №26.21 (с. 192)
Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя основные тригонометрические формулы.
1. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$tg(75^\circ) - ctg(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)} - \frac{\cos(75^\circ)}{\sin(75^\circ)}$
2. Приведем выражение к общему знаменателю $\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)$:
$\frac{\sin^2(75^\circ) - \cos^2(75^\circ)}{\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)}$
3. В числителе и знаменателе можно распознать части формул двойного угла. Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, и формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
4. Применим эти формулы к нашему выражению, подставив $\alpha = 75^\circ$. Для числителя используем следствие $\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = -\cos(2\alpha)$. Для знаменателя используем следствие $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\frac{-\cos(2 \cdot 75^\circ)}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ)} = \frac{-\cos(150^\circ)}{\frac{1}{2}\sin(150^\circ)}$
5. Упростим полученное выражение:
$-2 \cdot \frac{\cos(150^\circ)}{\sin(150^\circ)} = -2 ctg(150^\circ)$
6. Найдем значение $ctg(150^\circ)$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения: $ctg(150^\circ) = ctg(180^\circ - 30^\circ) = -ctg(30^\circ)$.
7. Так как табличное значение $ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$ctg(150^\circ) = -\sqrt{3}$
8. Подставим это значение обратно в наше выражение:
$-2 \cdot (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили $2\sqrt{3}$, что равно правой части. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $tg(75^\circ) - ctg(75^\circ) = 2\sqrt{3}$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 26.21 расположенного на странице 192 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26.21 (с. 192), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.