Номер 26.22, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.22. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 3;$

2) $\frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha.$

1) Докажем тождество: $ \frac{\cos^3\alpha - \cos3\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\sin\alpha} = 3 $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы косинуса и синуса тройного угла:

$ \cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $

$ \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

Подставим эти формулы в левую часть исходного выражения.

Рассмотрим первое слагаемое:

$ \frac{\cos^3\alpha - \cos3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - 4\cos^3\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3\cos^3\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} $

Вынесем за скобки общий множитель $3\cos\alpha$ в числителе:

$ \frac{3\cos\alpha(1 - \cos^2\alpha)}{\cos\alpha} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, имеем $ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $. Подставим это в выражение:

$ \frac{3\cos\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = 3\sin^2\alpha $

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-3\sin^3\alpha + 3\sin\alpha}{\sin\alpha} $

Вынесем за скобки общий множитель $3\sin\alpha$ в числителе:

$ \frac{3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $. Подставим:

$ \frac{3\sin\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos^2\alpha $

Сложим полученные результаты:

$ 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 3 \cdot 1 = 3 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 3, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos3\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Воспользуемся результатами преобразований числителя и знаменателя из предыдущего пункта.

Числитель дроби:

$ \sin^3\alpha + \sin3\alpha = \sin^3\alpha + (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) = 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 3\sin\alpha\cos^2\alpha $

Знаменатель дроби:

$ \cos^3\alpha - \cos3\alpha = \cos^3\alpha - (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) = -3\cos^3\alpha + 3\cos\alpha = 3\cos\alpha(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos\alpha\sin^2\alpha $

Подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos3\alpha} = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{3\cos\alpha\sin^2\alpha} $

Сократим общие множители $3$, $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

По определению котангенса, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \text{ctg}\alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.