Номер 26.17, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.17. Упростите выражение:

1) $\frac{2\cos2\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha};$

2) $\left(\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}\right)\sin2\alpha;$

3) $\frac{\cos2\alpha + 1 - \cos^2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}.$

1) Преобразуем знаменатель, используя определения тангенса и котангенса, а затем формулы двойного угла:
$ \ctg{\alpha} - \tg{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{\cos{2\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{2\alpha}} = \frac{2\cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}} $.
Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:
$ \frac{2\cos{2\alpha}}{\ctg{\alpha} - \tg{\alpha}} = \frac{2\cos{2\alpha}}{\frac{2\cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}}} = 2\cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{2\cos{2\alpha}} = \sin{2\alpha} $.
Ответ: $ \sin{2\alpha} $.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\cos{\alpha}}{1 + \sin{\alpha}} + \frac{\cos{\alpha}}{1 - \sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}(1 - \sin{\alpha}) + \cos{\alpha}(1 + \sin{\alpha})}{(1 + \sin{\alpha})(1 - \sin{\alpha})} $.
Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:
$ \frac{\cos{\alpha} - \cos{\alpha}\sin{\alpha} + \cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{1 - \sin^2{\alpha}} = \frac{2\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}} = \frac{2}{\cos{\alpha}} $.
Теперь умножим полученный результат на $ \sin{2\alpha} $, используя формулу синуса двойного угла $ \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} $:
$ \frac{2}{\cos{\alpha}} \cdot \sin{2\alpha} = \frac{2}{\cos{\alpha}} \cdot 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 4\sin{\alpha} $.
Ответ: $ 4\sin{\alpha} $.

3) Упростим числитель, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 - \cos^2{\alpha} = \sin^2{\alpha} $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} $:
$ \cos{2\alpha} + 1 - \cos^2{\alpha} = \cos{2\alpha} + \sin^2{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) + \sin^2{\alpha} = \cos^2{\alpha} $.
Упростим знаменатель, используя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin{x} $:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\sin{2\alpha} $.
Подставим упрощенные части в исходное выражение и применим формулу синуса двойного угла:
$ \frac{\cos^2{\alpha}}{-\sin{2\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{-2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = -\frac{\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = -\frac{1}{2}\ctg{\alpha} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2}\ctg{\alpha} $.