Страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.10. Упростите выражение:

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha;$

2) $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}.$

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha$

Для упрощения данного выражения можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы понижения степени.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, положив $x = 135^\circ - \alpha$:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2(135^\circ - \alpha)) = 1 - \cos(270^\circ - 2\alpha)$.

Далее используем формулу приведения для косинуса: $\cos(270^\circ - \beta) = -\sin\beta$.

В нашем случае $\beta = 2\alpha$, следовательно:

$\cos(270^\circ - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

Подставим это обратно в преобразованное первое слагаемое:

$1 - \cos(270^\circ - 2\alpha) = 1 - (-\sin(2\alpha)) = 1 + \sin(2\alpha)$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(1 + \sin(2\alpha)) - \sin(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = 1$.

Способ 2: Использование формулы синуса разности.

Раскроем $\sin(135^\circ - \alpha)$ по формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$:

$\sin(135^\circ - \alpha) = \sin 135^\circ \cos\alpha - \cos 135^\circ \sin\alpha$.

Найдем значения синуса и косинуса для угла $135^\circ$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения:

$\sin(135^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{2}}{2})\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.

Теперь возведем это выражение в квадрат и умножим на 2, чтобы получить первое слагаемое исходного выражения:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) \right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4}(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = (\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 + \sin 2\alpha$.

Подставляем полученное выражение в исходное:

$(1 + \sin 2\alpha) - \sin 2\alpha = 1$.

Ответ: 1

2) $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Выражение $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}$, представленное в задании, не поддается стандартным методам упрощения и, с высокой вероятностью, содержит опечатку в условии. В текущем виде его нельзя значительно упростить до более компактной формы (например, до константы или одного тригонометрического члена).

Попытка приведения к общему знаменателю приводит к более громоздкому выражению:

$2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha - 13\cos 2\alpha \sin 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha}$.

Используя формулу синуса двойного угла ($ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $), можно переписать числитель как $2\sin 2\alpha - \frac{13}{2}\sin 4\alpha + 1$, что не является упрощением.

Без исправления предполагаемой опечатки в условии, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: Выражение, вероятно, содержит опечатку и в представленном виде не упрощается.

26.11. Найдите $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\text{tg} \alpha$, если $\text{tg}\frac{\alpha}{2}=5$.

Для нахождения значений $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ и $\text{tg} \alpha$, зная значение $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$, воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки (формулами тангенса половинного угла).

Формулы имеют следующий вид:

• $\sin \alpha = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}$
• $\cos \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}$
• $\text{tg} \alpha = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}$

По условию задачи дано, что $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = 5$. Подставим это значение в каждую из формул.

Нахождение sin α

Используем формулу для синуса:

$\sin \alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 + 5^2} = \frac{10}{1 + 25} = \frac{10}{26}$

Сокращаем полученную дробь на 2:

$\sin \alpha = \frac{5}{13}$

Ответ: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$

Нахождение cos α

Используем формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26}$

Сокращаем полученную дробь на 2:

$\cos \alpha = -\frac{12}{13}$

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$

Нахождение tg α

Для нахождения тангенса можно использовать соответствующую формулу или найти его как отношение синуса к косинусу, используя уже найденные значения.

Способ 1: по формуле

$\text{tg} \alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 - 5^2} = \frac{10}{1 - 25} = \frac{10}{-24}$

Сокращаем дробь на 2:

$\text{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$

Способ 2: через отношение $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$

$\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = -\frac{5}{12}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\text{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$

26.12. Найдите $ \cos 2\alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = -3 $.

Для решения данной задачи воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла, которая связывает $cos 2\alpha$ с $tg \alpha$:

$cos 2\alpha = \frac{1 - tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha}$

По условию задачи нам известно, что $tg \alpha = -3$. Подставим это значение в формулу:

$cos 2\alpha = \frac{1 - (-3)^2}{1 + (-3)^2}$

Теперь выполним арифметические действия. Сначала возведем в квадрат:

$(-3)^2 = 9$

Подставим результат обратно в выражение:

$cos 2\alpha = \frac{1 - 9}{1 + 9}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе:

$cos 2\alpha = \frac{-8}{10}$

Сократим полученную дробь на 2:

$cos 2\alpha = -\frac{4}{5}$

Также ответ можно представить в виде десятичной дроби: $-0,8$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$

26.13. Дано: $ \cos 2\alpha = -0,6 $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Найдите $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $.

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами косинуса двойного угла, которые связывают $ \cos 2\alpha $ с $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $.

Найдём $ \cos\alpha $

Воспользуемся формулой $ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $. Подставим в неё известное значение $ \cos 2\alpha = -0,6 $:

$-0,6 = 2\cos^2\alpha - 1$

Перенесём $-1$ в левую часть уравнения:

$2\cos^2\alpha = 1 - 0,6$

$2\cos^2\alpha = 0,4$

Разделим обе части на 2:

$\cos^2\alpha = 0,2$

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{0,2} $. По условию угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, следовательно, мы выбираем корень со знаком минус.

$\cos\alpha = -\sqrt{0,2} = -\sqrt{\frac{2}{10}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдём $ \sin\alpha $

Теперь воспользуемся формулой $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $. Также подставим известное значение $ \cos 2\alpha = -0,6 $:

$-0,6 = 1 - 2\sin^2\alpha$

Перенесём $ 2\sin^2\alpha $ влево, а $-0,6$ вправо:

$2\sin^2\alpha = 1 - (-0,6)$

$2\sin^2\alpha = 1 + 0,6$

$2\sin^2\alpha = 1,6$

Разделим обе части на 2:

$\sin^2\alpha = 0,8$

Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{0,8} $. Поскольку угол $ \alpha $ находится во II координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), синус в этой четверти принимает положительные значения. Следовательно, мы выбираем корень со знаком плюс.

$\sin\alpha = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

26.14. Дано: $\cos\alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$ и $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулами половинного угла и данными из условия: $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ на 2, получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и, следовательно, все его тригонометрические функции ($\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$) будут положительными.

$\sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса половинного угла: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

Подставим известное значение $\cos\alpha$: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4-3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$. Извлекаем квадратный корень: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $

Подставим известное значение $\cos\alpha$: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4+3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$. Извлекаем квадратный корень: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $

Подставим найденные значения: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{7}$

26.15. Используя формулы половинного угла, найдите:

1) $\sin 15^\circ$; 3) $\text{tg } 75^\circ$; 5) $\text{tg } 112^\circ 30';$

2) $\cos 15^\circ$; 4) $\cos 75^\circ$; 6) $\text{tg } \frac{\pi}{8}$.

1) sin 15°;
Для нахождения $ \sin 15^\circ $ используем формулу синуса половинного угла: $ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 15^\circ $, тогда $ \alpha = 30^\circ $.
Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, поэтому синус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 30^\circ $ нам известно: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $.
Это выражение можно упростить, преобразовав подкоренное выражение к полному квадрату: $ \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $.
Таким образом, $ \sin 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

2) cos 15°;
Для нахождения $ \cos 15^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 15^\circ $, тогда $ \alpha = 30^\circ $.
Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, поэтому косинус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 30^\circ $: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} $.
Упростим выражение $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} $, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата: $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

3) tg 75°;
Для нахождения $ \text{tg } 75^\circ $ используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 75^\circ $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $ 150^\circ $:
$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } 75^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 + \sqrt{3} $.
Ответ: $ 2 + \sqrt{3} $.

4) cos 75°;
Для нахождения $ \cos 75^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 75^\circ $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, поэтому косинус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 150^\circ $: $ \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $.
Это выражение равно $ \sin 15^\circ $, как и должно быть, поскольку $ \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ $.
Упростив, как в пункте 1, получаем: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

5) tg 112°30';
Сначала переведем минуты в градусы: $ 112^\circ 30' = 112.5^\circ $.
Используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 112.5^\circ $, тогда $ \alpha = 2 \cdot 112.5^\circ = 225^\circ $.
Угол $ 112.5^\circ $ находится во второй четверти, поэтому его тангенс отрицателен.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $ 225^\circ $:
$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } 112.5^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(\frac{2}{\sqrt{2}} + 1) = -(\sqrt{2}+1) $.
Ответ: $ -(\sqrt{2}+1) $.

6) tg $\frac{\pi}{8}$;
Используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8} $, тогда $ \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.
Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен.
Значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ нам известны:
$ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1 $.
Ответ: $ \sqrt{2} - 1 $.

26.16. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{\cot\frac{\alpha}{2} - \tan\frac{\alpha}{2}}$;

2) $(\tan\alpha + \cot\alpha) \sin 2\alpha$;

3) $\frac{4 \tan\alpha (1 - \tan^2\alpha)}{(1 + \tan^2\alpha)^2}$;

4) $\frac{\tan 2\alpha \tan\alpha}{\tan 2\alpha - \tan\alpha}$;

5) $\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$;

6) $2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$.

1) $\frac{1}{\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2}}$

Преобразуем знаменатель, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Используем формулы двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$.

Числитель: $\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$.

Знаменатель: $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Таким образом, знаменатель исходного выражения равен $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = 2\ctg\alpha$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{2\ctg\alpha} = \frac{1}{2}\tg\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\tg\alpha$.

2) $(\tg\alpha + \ctg\alpha)\sin2\alpha$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})\sin2\alpha$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$(\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha})\sin2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}) \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)$

Сокращаем $\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $2$.

3) $\frac{4\tg\alpha(1 - \tg^2\alpha)}{(1 + \tg^2\alpha)^2}$

Перегруппируем множители в выражении:

$2 \cdot \frac{2\tg\alpha}{1 + \tg^2\alpha} \cdot \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$

Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс:

$\sin2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$ и $\cos2\alpha = \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$

Подставим эти формулы в наше выражение:

$2 \cdot \sin2\alpha \cdot \cos2\alpha$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, где $x = 2\alpha$:

$2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin4\alpha$.

Ответ: $\sin4\alpha$.

4) $\frac{\tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha}$

Перевернем дробь, чтобы ее было удобнее преобразовывать:

$\frac{1}{\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} - \frac{\tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1}{\tg 2\alpha}}$

Так как $\frac{1}{\tg x} = \ctg x$, выражение можно переписать как:

$\frac{1}{\ctg\alpha - \ctg 2\alpha}$

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через синусы и косинусы:

$\ctg\alpha - \ctg 2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha}$

В числителе получили формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=2\alpha$ и $B=\alpha$:

$\frac{\sin(2\alpha - \alpha)}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Подставляем это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{\sin 2\alpha}} = \sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$.

5) $\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Разложим числитель. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$

Подставим это обратно в числитель исходной дроби:

$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Теперь все выражение выглядит так:

$\frac{\sin^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\frac{1 - \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Разложим числитель как разность квадратов:

$\frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{2(1 - \cos\alpha)}$

Сократим $(1 - \cos\alpha)$:

$\frac{1 + \cos\alpha}{2}$

Это выражение является формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

6) $2\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})$

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$.

Найдем $A+B$ и $A-B$:

$A+B = (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) + (\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$A-B = (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) - (\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) = -\alpha$

Подставим найденные значения в формулу:

$\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(-\alpha)$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$.

$0 + \cos\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

26.17. Упростите выражение:

1) $\frac{2\cos2\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha};$

2) $\left(\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}\right)\sin2\alpha;$

3) $\frac{\cos2\alpha + 1 - \cos^2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}.$

1) Преобразуем знаменатель, используя определения тангенса и котангенса, а затем формулы двойного угла:
$ \ctg{\alpha} - \tg{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{\cos{2\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{2\alpha}} = \frac{2\cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}} $.
Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:
$ \frac{2\cos{2\alpha}}{\ctg{\alpha} - \tg{\alpha}} = \frac{2\cos{2\alpha}}{\frac{2\cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}}} = 2\cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{2\cos{2\alpha}} = \sin{2\alpha} $.
Ответ: $ \sin{2\alpha} $.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\cos{\alpha}}{1 + \sin{\alpha}} + \frac{\cos{\alpha}}{1 - \sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}(1 - \sin{\alpha}) + \cos{\alpha}(1 + \sin{\alpha})}{(1 + \sin{\alpha})(1 - \sin{\alpha})} $.
Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:
$ \frac{\cos{\alpha} - \cos{\alpha}\sin{\alpha} + \cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{1 - \sin^2{\alpha}} = \frac{2\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}} = \frac{2}{\cos{\alpha}} $.
Теперь умножим полученный результат на $ \sin{2\alpha} $, используя формулу синуса двойного угла $ \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} $:
$ \frac{2}{\cos{\alpha}} \cdot \sin{2\alpha} = \frac{2}{\cos{\alpha}} \cdot 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 4\sin{\alpha} $.
Ответ: $ 4\sin{\alpha} $.

3) Упростим числитель, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 - \cos^2{\alpha} = \sin^2{\alpha} $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} $:
$ \cos{2\alpha} + 1 - \cos^2{\alpha} = \cos{2\alpha} + \sin^2{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) + \sin^2{\alpha} = \cos^2{\alpha} $.
Упростим знаменатель, используя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin{x} $:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\sin{2\alpha} $.
Подставим упрощенные части в исходное выражение и применим формулу синуса двойного угла:
$ \frac{\cos^2{\alpha}}{-\sin{2\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{-2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = -\frac{\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = -\frac{1}{2}\ctg{\alpha} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2}\ctg{\alpha} $.

26.18. Докажите тождество:

1) $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha;$

2) $\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg} \alpha;$

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4}{1 - 8\sin^2\alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha;$

4) $\frac{\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \text{tg} \alpha;$

5) $\frac{\cos 4\alpha + 1}{\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha;$

6) $\frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha).$

1) Докажем тождество $1 + 2\cos2\alpha + \cos4\alpha = 4\cos^2\alpha\cos2\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, применив её для $\cos4\alpha$:
$1 + 2\cos2\alpha + \cos4\alpha = 1 + 2\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha)$.
Вынесем общий множитель $2\cos2\alpha$ за скобки:
$2\cos2\alpha(1 + \cos2\alpha)$.
Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ (формула понижения степени):
$2\cos2\alpha(2\cos^2\alpha) = 4\cos^2\alpha\cos2\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы двойного угла: $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
Числитель: $1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$.
Знаменатель: $1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим:
$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin^22\alpha + 4\sin^2\alpha - 4}{1 - 8\sin^2\alpha - \cos4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha$.
Преобразуем числитель:
$\sin^22\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4(\sin^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) = 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha$.
Преобразуем знаменатель, используя $\cos4\alpha = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$:
$1 - 8\sin^2\alpha - \cos4\alpha = 1 - 8\sin^2\alpha - (1 - 2\sin^2(2\alpha)) = 2\sin^2(2\alpha) - 8\sin^2\alpha = 2(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 8\sin^2\alpha = 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 8\sin^2\alpha = 8\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 8\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -8\sin^4\alpha$.
Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{-4\cos^4\alpha}{-8\sin^4\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha)}{(1+\cos2\alpha)(1+\cos4\alpha)} = \text{tg}\alpha$.
Сначала упростим числитель, используя формулы приведения:
$\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \sin(4\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Таким образом, числитель равен $\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)$.
Теперь упростим знаменатель, используя формулу $1+\cos(2x) = 2\cos^2x$ дважды:
$(1+\cos2\alpha)(1+\cos4\alpha) = (2\cos^2\alpha)(2\cos^2(2\alpha)) = 4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)$.
Подставим упрощенные части в дробь:
$\frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{\sin(4\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos(2\alpha)}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:
$\frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)}{4\cos^2\alpha} = \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos^2\alpha}$.
Снова применим формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $\frac{\cos4\alpha + 1}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha} = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.
Преобразуем числитель, используя формулу $1+\cos(2x) = 2\cos^2x$:
$\cos4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha)$.
Преобразуем знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{2}(2\sin\alpha\cos\alpha)} = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{2}\sin2\alpha} = \frac{2\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{2\cos^2(2\alpha)}{\frac{2\cos2\alpha}{\sin2\alpha}} = 2\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{\sin2\alpha}{2\cos2\alpha} = \cos(2\alpha)\sin(2\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла в обратном порядке $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $, получаем:
$\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

6) Докажем тождество $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha)$.
Преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$:
$\frac{2\cos2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha} = \frac{2\cos2\alpha(1 - \sin2\alpha)}{2\cos2\alpha(1 + \sin2\alpha)} = \frac{1 - \sin2\alpha}{1 + \sin2\alpha}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и снова формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\right)^2$.
Разделим числитель и знаменатель дроби в скобках на $\cos\alpha$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$\left(\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}\right)^2$.
Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, мы можем переписать выражение:
$\left(\frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}45^\circ \cdot \text{tg}\alpha}\right)^2$.
Выражение в скобках является формулой тангенса разности $\text{tg}(45^\circ - \alpha)$, следовательно:
$(\text{tg}(45^\circ - \alpha))^2 = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha)$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.