Номер 26.10, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.10. Упростите выражение:

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha;$

2) $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}.$

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha$

Для упрощения данного выражения можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы понижения степени.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, положив $x = 135^\circ - \alpha$:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2(135^\circ - \alpha)) = 1 - \cos(270^\circ - 2\alpha)$.

Далее используем формулу приведения для косинуса: $\cos(270^\circ - \beta) = -\sin\beta$.

В нашем случае $\beta = 2\alpha$, следовательно:

$\cos(270^\circ - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

Подставим это обратно в преобразованное первое слагаемое:

$1 - \cos(270^\circ - 2\alpha) = 1 - (-\sin(2\alpha)) = 1 + \sin(2\alpha)$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(1 + \sin(2\alpha)) - \sin(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = 1$.

Способ 2: Использование формулы синуса разности.

Раскроем $\sin(135^\circ - \alpha)$ по формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$:

$\sin(135^\circ - \alpha) = \sin 135^\circ \cos\alpha - \cos 135^\circ \sin\alpha$.

Найдем значения синуса и косинуса для угла $135^\circ$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения:

$\sin(135^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{2}}{2})\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)$.

Теперь возведем это выражение в квадрат и умножим на 2, чтобы получить первое слагаемое исходного выражения:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) \right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4}(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = (\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 + \sin 2\alpha$.

Подставляем полученное выражение в исходное:

$(1 + \sin 2\alpha) - \sin 2\alpha = 1$.

Ответ: 1

2) $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Выражение $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}$, представленное в задании, не поддается стандартным методам упрощения и, с высокой вероятностью, содержит опечатку в условии. В текущем виде его нельзя значительно упростить до более компактной формы (например, до константы или одного тригонометрического члена).

Попытка приведения к общему знаменателю приводит к более громоздкому выражению:

$2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha - 13\cos 2\alpha \sin 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha}$.

Используя формулу синуса двойного угла ($ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $), можно переписать числитель как $2\sin 2\alpha - \frac{13}{2}\sin 4\alpha + 1$, что не является упрощением.

Без исправления предполагаемой опечатки в условии, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: Выражение, вероятно, содержит опечатку и в представленном виде не упрощается.