Номер 26.8, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.8. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos \frac{5\alpha}{6}$;

2) $1 + \cos 12\alpha$;

3) $1 + \cos 40^{\circ}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.

1) Для того чтобы представить выражение $1 - \cos\frac{5\alpha}{6}$ в виде произведения, воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
В нашем случае, аргумент $x = \frac{5\alpha}{6}$.
Тогда половина аргумента будет равна $\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\alpha}{6} = \frac{5\alpha}{12}$.
Подставив это значение в формулу, получаем:
$1 - \cos\frac{5\alpha}{6} = 2\sin^2\left(\frac{5\alpha}{12}\right)$.
Ответ: $2\sin^2\frac{5\alpha}{12}$.

2) Для преобразования выражения $1 + \cos 12\alpha$ в произведение, используем другую формулу понижения степени: $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
В данном случае, $x = 12\alpha$.
Следовательно, половина аргумента $\frac{x}{2} = \frac{12\alpha}{2} = 6\alpha$.
Применяя формулу, получаем:
$1 + \cos 12\alpha = 2\cos^2(6\alpha)$.
Ответ: $2\cos^2(6\alpha)$.

3) Для выражения $1 + \cos 40^\circ$ применим ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Здесь аргумент $x = 40^\circ$.
Половина аргумента составляет $\frac{x}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.
Подставляем в формулу:
$1 + \cos 40^\circ = 2\cos^2(20^\circ)$.
Ответ: $2\cos^2(20^\circ)$.

4) В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Судя по всему, имелось в виду выражение $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha$, так как его преобразование приводит к выражению в правой части равенства из условия. Представим в виде произведения это выражение.
Сгруппируем слагаемые: $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = (1 + \cos 4\alpha) + 2\cos 2\alpha$.
К выражению в скобках применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$, где $x=4\alpha$:
$1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2\frac{4\alpha}{2} = 2\cos^2(2\alpha)$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$2\cos^2(2\alpha) + 2\cos 2\alpha$.
Вынесем общий множитель $2\cos 2\alpha$ за скобки:
$2\cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1)$.
Теперь к выражению в скобках $(\cos 2\alpha + 1)$ снова применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$, где $x=2\alpha$:
$\cos 2\alpha + 1 = 2\cos^2\frac{2\alpha}{2} = 2\cos^2\alpha$.
Подставим это в наше произведение:
$2\cos 2\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.
Ответ: $4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.