Номер 26.2, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.2. Упростите выражение:

1) $ \cos 6\alpha + 2\sin^2 3\alpha; $

2) $ \frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ}; $

3) $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}; $

4) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

5) $ \frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}; $

6) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

7) $ \sin^2(\alpha - 45^\circ) - \cos^2(\beta - 45^\circ); $

8) $ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right). $

1)

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$. В данном случае, пусть $x = 3α$, тогда $2x = 6α$. Применяя формулу, получаем $cos(6α) = 1 - 2sin^2(3α)$. Подставим это в исходное выражение: $cos(6α) + 2sin^2(3α) = (1 - 2sin^2(3α)) + 2sin^2(3α) = 1$.

Ответ: $1$.

2)

Рассмотрим выражение $\frac{cos(70°)}{cos(35°) + sin(35°)}$. В числителе применим формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, где $x=35°$. $cos(70°) = cos(2 \cdot 35°) = cos^2(35°) - sin^2(35°)$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $cos^2(35°) - sin^2(35°) = (cos(35°) - sin(35°))(cos(35°) + sin(35°))$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{(cos(35°) - sin(35°))(cos(35°) + sin(35°))}{cos(35°) + sin(35°)}$. Сокращаем дробь на $(cos(35°) + sin(35°))$ и получаем $cos(35°) - sin(35°)$.

Ответ: $cos(35°) - sin(35°)$.

3)

Рассмотрим выражение $\frac{1 + sin(2α)}{(sin(α) + cos(α))^2}$. Раскроем квадрат суммы в знаменателе: $(sin(α) + cos(α))^2 = sin^2(α) + 2sin(α)cos(α) + cos^2(α)$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sin(α)cos(α)$, преобразуем знаменатель: $(sin^2(α) + cos^2(α)) + 2sin(α)cos(α) = 1 + sin(2α)$. Таким образом, выражение принимает вид $\frac{1 + sin(2α)}{1 + sin(2α)}$, что равно 1 (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Ответ: $1$.

4)

Упростим выражение $sin(α)cos(α)cos(2α)$. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, из которой следует, что $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$. Применим эту формулу для $x=α$: $sin(α)cos(α) = \frac{1}{2}sin(2α)$. Подставим в исходное выражение: $\frac{1}{2}sin(2α)cos(2α)$. Снова применим ту же формулу, но теперь для аргумента $2α$: $sin(2α)cos(2α) = \frac{1}{2}sin(2 \cdot 2α) = \frac{1}{2}sin(4α)$. Подставляя это, получаем: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}sin(4α)) = \frac{1}{4}sin(4α)$.

Ответ: $\frac{1}{4}sin(4α)$.

5)

Упростим выражение $\frac{sin(4α)}{cos^4(α) - sin^4(α)}$. Знаменатель представляет собой разность квадратов: $cos^4(α) - sin^4(α) = (cos^2(α) - sin^2(α))(cos^2(α) + sin^2(α))$. Используя формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$ и основное тригонометрическое тождество $cos^2(α) + sin^2(α) = 1$, получаем, что знаменатель равен $cos(2α)$. Числитель преобразуем по формуле синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, где $x=2α$: $sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α)$. Теперь выражение имеет вид: $\frac{2sin(2α)cos(2α)}{cos(2α)}$. Сокращая на $cos(2α)$, получаем $2sin(2α)$.

Ответ: $2sin(2α)$.

6)

Упростим выражение $sin(\frac{\pi}{4} - α)cos(\frac{\pi}{4} - α)$. Выражение имеет вид $sin(x)cos(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - α$. Используем формулу $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$. $sin(\frac{\pi}{4} - α)cos(\frac{\pi}{4} - α) = \frac{1}{2}sin(2(\frac{\pi}{4} - α)) = \frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{2} - 2α)$. Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - y) = cos(y)$, где $y=2α$. Получаем: $\frac{1}{2}cos(2α)$.

Ответ: $\frac{1}{2}cos(2α)$.

7)

Упростим выражение $sin^2(α - 45°) - cos^2(β - 45°)$. Используем формулы понижения степени: $sin^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}$ и $cos^2(y) = \frac{1+cos(2y)}{2}$. Подставим их в выражение: $\frac{1-cos(2(α - 45°))}{2} - \frac{1+cos(2(β - 45°))}{2}$. Это равно $\frac{1-cos(2α - 90°) - (1+cos(2β - 90°))}{2} = \frac{-cos(2α - 90°) - cos(2β - 90°)}{2}$. Используем формулы приведения $cos(z - 90°) = sin(z)$. Выражение принимает вид: $\frac{-sin(2α) - sin(2β)}{2} = -\frac{sin(2α) + sin(2β)}{2}$. Применим формулу суммы синусов $sin(A) + sin(B) = 2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$: $-\frac{2sin(\frac{2α+2β}{2})cos(\frac{2α-2β}{2})}{2} = -sin(α+β)cos(α-β)$.

Ответ: $-sin(α+β)cos(α-β)$.

8)

Упростим выражение $cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2}) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2})$. Это выражение имеет вид $cos^2(x) - sin^2(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2}$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Выражение равно $cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2})) = cos(\frac{\pi}{2} - 3α)$. Применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - y) = sin(y)$, где $y=3α$. Окончательный результат: $sin(3α)$.

Ответ: $sin(3α)$.