Страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.1. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\alpha + \sin^2\alpha; $

2) $ \frac{\sin 50^\circ}{2 \cos 25^\circ}; $

3) $ \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}; $

4) $ 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{4}; $

5) $ \frac{\sin^2\alpha \operatorname{ctg}\alpha}{\sin 2\alpha}; $

6) $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2\alpha}; $

7) $ \cos^4\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

8) $ \frac{\operatorname{tg}(45^\circ + \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(45^\circ + \alpha)}. $

1) $cos2\alpha + sin^2\alpha$

Используем одну из формул косинуса двойного угла: $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Подставим ее в выражение:

$cos2\alpha + sin^2\alpha = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) + sin^2\alpha = cos^2\alpha$

Ответ: $cos^2\alpha$

2) $\frac{sin50^\circ}{2cos25^\circ}$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

В нашем случае, $50^\circ = 2 \cdot 25^\circ$. Тогда $sin50^\circ = 2sin25^\circ cos25^\circ$.

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2sin25^\circ cos25^\circ}{2cos25^\circ} = sin25^\circ$

Ответ: $sin25^\circ$

3) $\frac{cos2\alpha}{cos\alpha - sin\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Числитель можно разложить как разность квадратов: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = (cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha)}{cos\alpha - sin\alpha} = cos\alpha + sin\alpha$

Ответ: $cos\alpha + sin\alpha$

4) $1 - 2sin^2\frac{\alpha}{4}$

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos2x = 1 - 2sin^2x$.

В нашем случае $x = \frac{\alpha}{4}$, тогда $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$.

Следовательно, выражение равно $cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $cos\frac{\alpha}{2}$

5) $\frac{sin^2\alpha \cdot ctg\alpha}{sin2\alpha}$

Распишем котангенс и синус двойного угла по формулам: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ и $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

Преобразуем числитель: $sin^2\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = sin\alpha cos\alpha$.

Теперь подставим все в исходную дробь:

$\frac{sin\alpha cos\alpha}{2sin\alpha cos\alpha} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6) $\frac{sin\alpha cos\alpha}{1 - 2sin^2\alpha}$

В знаменателе стоит формула косинуса двойного угла: $1 - 2sin^2\alpha = cos2\alpha$.

Числитель является половиной от синуса двойного угла: $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin2\alpha$.

Подставим преобразованные части в дробь:

$\frac{\frac{1}{2}sin2\alpha}{cos2\alpha} = \frac{1}{2}\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha} = \frac{1}{2}tg2\alpha$

Ответ: $\frac{1}{2}tg2\alpha$

7) $cos^4(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin^4(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ и $b = sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

$(cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha))(cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha))$

Вторая скобка равна 1 по основному тригонометрическому тождеству ($cos^2x + sin^2x = 1$).

Первая скобка является формулой косинуса двойного угла ($cos^2x - sin^2x = cos2x$).

Получаем: $cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.

По формуле приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = sin\beta$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = sin2\alpha$.

Ответ: $sin2\alpha$

8) $\frac{tg(45^\circ + \alpha)}{1 - tg^2(45^\circ + \alpha)}$

Это выражение похоже на формулу тангенса двойного угла $tg2x = \frac{2tgx}{1 - tg^2x}$.

Чтобы привести наше выражение к этой формуле, умножим и разделим его на 2:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2tg(45^\circ + \alpha)}{1 - tg^2(45^\circ + \alpha)} = \frac{1}{2}tg(2(45^\circ + \alpha))$

Упростим аргумент тангенса:

$\frac{1}{2}tg(90^\circ + 2\alpha)$

Используем формулу приведения $tg(90^\circ + \beta) = -ctg\beta$.

Получаем: $\frac{1}{2}(-ctg(2\alpha)) = -\frac{1}{2}ctg(2\alpha)$.

Ответ: $-\frac{1}{2}ctg(2\alpha)$

26.2. Упростите выражение:

1) $ \cos 6\alpha + 2\sin^2 3\alpha; $

2) $ \frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ}; $

3) $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}; $

4) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

5) $ \frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}; $

6) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

7) $ \sin^2(\alpha - 45^\circ) - \cos^2(\beta - 45^\circ); $

8) $ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}\right). $

1)

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$. В данном случае, пусть $x = 3α$, тогда $2x = 6α$. Применяя формулу, получаем $cos(6α) = 1 - 2sin^2(3α)$. Подставим это в исходное выражение: $cos(6α) + 2sin^2(3α) = (1 - 2sin^2(3α)) + 2sin^2(3α) = 1$.

Ответ: $1$.

2)

Рассмотрим выражение $\frac{cos(70°)}{cos(35°) + sin(35°)}$. В числителе применим формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, где $x=35°$. $cos(70°) = cos(2 \cdot 35°) = cos^2(35°) - sin^2(35°)$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $cos^2(35°) - sin^2(35°) = (cos(35°) - sin(35°))(cos(35°) + sin(35°))$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{(cos(35°) - sin(35°))(cos(35°) + sin(35°))}{cos(35°) + sin(35°)}$. Сокращаем дробь на $(cos(35°) + sin(35°))$ и получаем $cos(35°) - sin(35°)$.

Ответ: $cos(35°) - sin(35°)$.

3)

Рассмотрим выражение $\frac{1 + sin(2α)}{(sin(α) + cos(α))^2}$. Раскроем квадрат суммы в знаменателе: $(sin(α) + cos(α))^2 = sin^2(α) + 2sin(α)cos(α) + cos^2(α)$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sin(α)cos(α)$, преобразуем знаменатель: $(sin^2(α) + cos^2(α)) + 2sin(α)cos(α) = 1 + sin(2α)$. Таким образом, выражение принимает вид $\frac{1 + sin(2α)}{1 + sin(2α)}$, что равно 1 (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Ответ: $1$.

4)

Упростим выражение $sin(α)cos(α)cos(2α)$. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, из которой следует, что $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$. Применим эту формулу для $x=α$: $sin(α)cos(α) = \frac{1}{2}sin(2α)$. Подставим в исходное выражение: $\frac{1}{2}sin(2α)cos(2α)$. Снова применим ту же формулу, но теперь для аргумента $2α$: $sin(2α)cos(2α) = \frac{1}{2}sin(2 \cdot 2α) = \frac{1}{2}sin(4α)$. Подставляя это, получаем: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}sin(4α)) = \frac{1}{4}sin(4α)$.

Ответ: $\frac{1}{4}sin(4α)$.

5)

Упростим выражение $\frac{sin(4α)}{cos^4(α) - sin^4(α)}$. Знаменатель представляет собой разность квадратов: $cos^4(α) - sin^4(α) = (cos^2(α) - sin^2(α))(cos^2(α) + sin^2(α))$. Используя формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$ и основное тригонометрическое тождество $cos^2(α) + sin^2(α) = 1$, получаем, что знаменатель равен $cos(2α)$. Числитель преобразуем по формуле синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, где $x=2α$: $sin(4α) = 2sin(2α)cos(2α)$. Теперь выражение имеет вид: $\frac{2sin(2α)cos(2α)}{cos(2α)}$. Сокращая на $cos(2α)$, получаем $2sin(2α)$.

Ответ: $2sin(2α)$.

6)

Упростим выражение $sin(\frac{\pi}{4} - α)cos(\frac{\pi}{4} - α)$. Выражение имеет вид $sin(x)cos(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - α$. Используем формулу $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$. $sin(\frac{\pi}{4} - α)cos(\frac{\pi}{4} - α) = \frac{1}{2}sin(2(\frac{\pi}{4} - α)) = \frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{2} - 2α)$. Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - y) = cos(y)$, где $y=2α$. Получаем: $\frac{1}{2}cos(2α)$.

Ответ: $\frac{1}{2}cos(2α)$.

7)

Упростим выражение $sin^2(α - 45°) - cos^2(β - 45°)$. Используем формулы понижения степени: $sin^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}$ и $cos^2(y) = \frac{1+cos(2y)}{2}$. Подставим их в выражение: $\frac{1-cos(2(α - 45°))}{2} - \frac{1+cos(2(β - 45°))}{2}$. Это равно $\frac{1-cos(2α - 90°) - (1+cos(2β - 90°))}{2} = \frac{-cos(2α - 90°) - cos(2β - 90°)}{2}$. Используем формулы приведения $cos(z - 90°) = sin(z)$. Выражение принимает вид: $\frac{-sin(2α) - sin(2β)}{2} = -\frac{sin(2α) + sin(2β)}{2}$. Применим формулу суммы синусов $sin(A) + sin(B) = 2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$: $-\frac{2sin(\frac{2α+2β}{2})cos(\frac{2α-2β}{2})}{2} = -sin(α+β)cos(α-β)$.

Ответ: $-sin(α+β)cos(α-β)$.

8)

Упростим выражение $cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2}) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2})$. Это выражение имеет вид $cos^2(x) - sin^2(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2}$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Выражение равно $cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{3α}{2})) = cos(\frac{\pi}{2} - 3α)$. Применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - y) = sin(y)$, где $y=3α$. Окончательный результат: $sin(3α)$.

Ответ: $sin(3α)$.

26.3. Найдите $\sin 2\alpha$, если $\sin \alpha = -0,6$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Для того чтобы найти значение $\sin(2\alpha)$, воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

По условию задачи, нам известно значение $\sin(\alpha) = -0,6$. Чтобы использовать формулу, нам необходимо найти значение $\cos(\alpha)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2(\alpha)$:

$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$

Подставим известное значение $\sin(\alpha)$ в уравнение:

$\cos^2(\alpha) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Теперь найдем $\cos(\alpha)$, извлекая квадратный корень:

$\cos(\alpha) = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$

Чтобы определить знак косинуса, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV (четвертой) координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение.

Следовательно, мы выбираем положительное значение: $\cos(\alpha) = 0,8$.

Теперь, зная значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$, мы можем вычислить $\sin(2\alpha)$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot (-0,6) \cdot 0,8 = -1,2 \cdot 0,8 = -0,96$

Ответ: -0,96

26.4. Найдите $\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

26.4.

Для нахождения $ \sin(2\alpha) $ используется формула синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.

Из условия задачи известно, что $ \cos(\alpha) = -\frac{5}{13} $. Чтобы применить формулу, необходимо найти значение $ \sin(\alpha) $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Выразим из этого тождества $ \sin^2(\alpha) $ и подставим известное значение $ \cos(\alpha) $: $ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) $
$ \sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Отсюда находим $ \sin(\alpha) $: $ \sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

В условии сказано, что угол $ \alpha $ принадлежит интервалу $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует II (второй) координатной четверти. Во второй четверти значения синуса положительны, поэтому мы выбираем знак «+»: $ \sin(\alpha) = \frac{12}{13} $.

Теперь, имея значения $ \sin(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $, мы можем вычислить $ \sin(2\alpha) $: $ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169} $.

Ответ: $ -\frac{120}{169} $

26.5. Найдите $\text{tg } 2\alpha$, если:

1) $\text{tg } \alpha = 4$;

2) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1)

Для нахождения $tg 2\alpha$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ tg 2\alpha = \frac{2tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} $$

Подставим в формулу заданное значение $tg \alpha = 4$:

$$ tg 2\alpha = \frac{2 \cdot 4}{1 - 4^2} = \frac{8}{1 - 16} = \frac{8}{-15} = -\frac{8}{15} $$

Ответ: $-\frac{8}{15}$

2)

Чтобы найти $tg 2\alpha$, сначала необходимо найти $tg \alpha$. Нам дано, что $sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть). В первой четверти значения косинуса и тангенса положительны.

Найдем $cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:

$$ cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha $$

$$ cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} $$

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $cos \alpha > 0$, поэтому:

$$ cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $$

Теперь мы можем найти $tg \alpha$ по определению $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:

$$ tg \alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$

Наконец, подставим найденное значение $tg \alpha$ в формулу тангенса двойного угла:

$$ tg 2\alpha = \frac{2tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{1 - \frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{4-5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{-\frac{1}{4}} = -4\sqrt{5} $$

Ответ: $-4\sqrt{5}$

26.6. Найдите $ \operatorname{tg} 2\alpha $, если:

1) $ \operatorname{ctg} \alpha = 2; $

2) $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. $

1) ctg α = 2;

Для нахождения $tg(2α)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$tg(2α) = \frac{2tgα}{1 - tg^2α}$

Сначала найдем $tgα$. Мы знаем, что тангенс и котангенс - взаимно обратные функции, поэтому:

$tgα = \frac{1}{ctgα}$

Подставим известное значение $ctgα = 2$:

$tgα = \frac{1}{2}$

Теперь подставим значение $tgα$ в формулу двойного угла:

$tg(2α) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{4-1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) cos α = -3/5 и π < α < 3π/2;

Используем ту же формулу тангенса двойного угла:

$tg(2α) = \frac{2tgα}{1 - tg^2α}$

Для этого сначала необходимо найти $tgα$. Зная $cosα$, мы можем найти $sinα$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$.

$sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Следовательно, $sinα = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

По условию, угол $α$ находится в интервале $π < α < \frac{3π}{2}$, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Поэтому выбираем $sinα = -\frac{4}{5}$.

Теперь можем найти $tgα$:

$tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

Подставим найденное значение $tgα$ в формулу для $tg(2α)$:

$tg(2α) = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = -\frac{8 \cdot 3}{7} = -\frac{24}{7}$

Ответ: $-\frac{24}{7}$

26.7. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos 4\alpha;$

2) $1 + \cos \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha};$

3) $1 - \cos 50^\circ;$

4) $1 + \sin 2\alpha.$

1) $1 - \cos 4\alpha$

Для преобразования этого выражения воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен $4\alpha$. Пусть $2x = 4\alpha$, тогда $x = 2\alpha$.

Подставим это в формулу:

$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$.

Это выражение уже является произведением: $2 \cdot \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\alpha)$.

Ответ: $2\sin^2(2\alpha)$.

2) $1 + \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}$

Сначала упростим дробную часть выражения, приведя дроби к общему знаменателю $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:

$\frac{\cos(6\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos(6\alpha)\cos(2\alpha) + \sin(6\alpha)\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$.

В числителе мы видим формулу косинуса разности углов $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Применив ее, получаем: $\cos(6\alpha - 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

В знаменателе мы видим выражение, связанное с синусом двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Применив эту формулу к знаменателю, получаем: $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Таким образом, дробная часть равна: $\frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = 2\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = 2\cot(4\alpha)$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$1 + \frac{\cos(6\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1 + 2\cot(4\alpha)$.

Полученное выражение $1 + 2\cot(4\alpha)$ является суммой и не может быть преобразовано в произведение с помощью стандартных тригонометрических тождеств. Если записать результат в виде дроби, он будет иметь вид:

$\frac{\sin(4\alpha) + 2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}$.

Ответ: Выражение упрощается до $1 + 2\cot(4\alpha)$, что не является произведением. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

3) $1 - \cos 50^{\circ}$

Используем ту же формулу понижения степени, что и в первом пункте: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В данном случае $2x = 50^{\circ}$, следовательно, $x = 25^{\circ}$.

Подставляем в формулу:

$1 - \cos(50^{\circ}) = 2\sin^2(25^{\circ})$.

Ответ: $2\sin^2(25^{\circ})$.

4) $1 + \sin 2\alpha$

Для преобразования этого выражения в произведение воспользуемся формулой приведения и формулой для суммы с единицей.

Сначала представим синус как косинус, используя формулу приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$:

$1 + \sin(2\alpha) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.

Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos(y) = 2\cos^2(\frac{y}{2})$.

В нашем случае $y = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, тогда $\frac{y}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Подставляем и получаем:

$1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

26.8. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos \frac{5\alpha}{6}$;

2) $1 + \cos 12\alpha$;

3) $1 + \cos 40^{\circ}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.

1) Для того чтобы представить выражение $1 - \cos\frac{5\alpha}{6}$ в виде произведения, воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
В нашем случае, аргумент $x = \frac{5\alpha}{6}$.
Тогда половина аргумента будет равна $\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\alpha}{6} = \frac{5\alpha}{12}$.
Подставив это значение в формулу, получаем:
$1 - \cos\frac{5\alpha}{6} = 2\sin^2\left(\frac{5\alpha}{12}\right)$.
Ответ: $2\sin^2\frac{5\alpha}{12}$.

2) Для преобразования выражения $1 + \cos 12\alpha$ в произведение, используем другую формулу понижения степени: $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
В данном случае, $x = 12\alpha$.
Следовательно, половина аргумента $\frac{x}{2} = \frac{12\alpha}{2} = 6\alpha$.
Применяя формулу, получаем:
$1 + \cos 12\alpha = 2\cos^2(6\alpha)$.
Ответ: $2\cos^2(6\alpha)$.

3) Для выражения $1 + \cos 40^\circ$ применим ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Здесь аргумент $x = 40^\circ$.
Половина аргумента составляет $\frac{x}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.
Подставляем в формулу:
$1 + \cos 40^\circ = 2\cos^2(20^\circ)$.
Ответ: $2\cos^2(20^\circ)$.

4) В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Судя по всему, имелось в виду выражение $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha$, так как его преобразование приводит к выражению в правой части равенства из условия. Представим в виде произведения это выражение.
Сгруппируем слагаемые: $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = (1 + \cos 4\alpha) + 2\cos 2\alpha$.
К выражению в скобках применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$, где $x=4\alpha$:
$1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2\frac{4\alpha}{2} = 2\cos^2(2\alpha)$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$2\cos^2(2\alpha) + 2\cos 2\alpha$.
Вынесем общий множитель $2\cos 2\alpha$ за скобки:
$2\cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1)$.
Теперь к выражению в скобках $(\cos 2\alpha + 1)$ снова применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$, где $x=2\alpha$:
$\cos 2\alpha + 1 = 2\cos^2\frac{2\alpha}{2} = 2\cos^2\alpha$.
Подставим это в наше произведение:
$2\cos 2\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.
Ответ: $4\cos^2\alpha \cos 2\alpha$.

26.9. Докажите тождество:

1) $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 1$;

2) $\operatorname{ctg} 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$;

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$;

4) $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \operatorname{tg}^2 2\alpha.$

1) $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 1$

Для доказательства этого тождества воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в левую часть равенства: $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2\sin^2 \alpha + 1 - 2\sin^2 \alpha = 1$. В результате преобразований левая часть оказалась равна правой: $1 = 1$. Ответ: Тождество доказано.

2) $\text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Для этого используем следующие тригонометрические формулы:
1. Определение котангенса: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
2. Формула косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$. Если положить $x = 3\alpha$, то $1 - \cos 6\alpha = 2\sin^2 3\alpha$.
Подставим эти выражения в левую часть: $\text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot (2\sin^2 3\alpha)$. Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (это возможно, если $\sin 3\alpha \neq 0$, что является областью определения исходного выражения): $\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot 2\sin^2 3\alpha = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$. Полученное выражение является формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, где $x = 3\alpha$: $2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$. Таким образом, левая часть равна правой: $\sin 6\alpha = \sin 6\alpha$. Ответ: Тождество доказано.

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$

Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в левую часть: $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$. Сократим дробь на $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin^2 \alpha \neq 0$, что необходимо для существования исходного выражения): $\frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$. Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части. Ответ: Тождество доказано.

4) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \text{tg}^2 2\alpha$

Для преобразования левой части воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right)\right)}{2} - \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right)\right)}{2}$. Упростим выражение: $\frac{1}{2} \left( 1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \left(1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right)\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) \right)$. Применим формулы приведения. Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, имеем: $\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha$. $\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 4\alpha\right) = -\sin 4\alpha$. Подставим полученные значения обратно в выражение: $\frac{1}{2} (\sin 4\alpha - (-\sin 4\alpha)) = \frac{1}{2} (\sin 4\alpha + \sin 4\alpha) = \frac{1}{2} (2\sin 4\alpha) = \sin 4\alpha$. Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\sin 4\alpha$. Тогда равенство принимает вид: $\sin 4\alpha = \text{tg}^2 2\alpha$. Это равенство не является тождеством, так как оно не выполняется для всех допустимых значений $\alpha$. Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Тогда левая часть: $\sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть: $\text{tg}^2(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \text{tg}^2(\frac{\pi}{6}) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{3}$, исходное равенство не является тождеством. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка. Ответ: Данное равенство не является тождеством.