Номер 26.9, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.9. Докажите тождество:

1) $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 1$;

2) $\operatorname{ctg} 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$;

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$;

4) $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \operatorname{tg}^2 2\alpha.$

1) $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 1$

Для доказательства этого тождества воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в левую часть равенства: $2\sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2\sin^2 \alpha + 1 - 2\sin^2 \alpha = 1$. В результате преобразований левая часть оказалась равна правой: $1 = 1$. Ответ: Тождество доказано.

2) $\text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Для этого используем следующие тригонометрические формулы:
1. Определение котангенса: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
2. Формула косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$. Если положить $x = 3\alpha$, то $1 - \cos 6\alpha = 2\sin^2 3\alpha$.
Подставим эти выражения в левую часть: $\text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot (2\sin^2 3\alpha)$. Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (это возможно, если $\sin 3\alpha \neq 0$, что является областью определения исходного выражения): $\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot 2\sin^2 3\alpha = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$. Полученное выражение является формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, где $x = 3\alpha$: $2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$. Таким образом, левая часть равна правой: $\sin 6\alpha = \sin 6\alpha$. Ответ: Тождество доказано.

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$

Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$. Подставим это выражение в левую часть: $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$. Сократим дробь на $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin^2 \alpha \neq 0$, что необходимо для существования исходного выражения): $\frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$. Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части. Ответ: Тождество доказано.

4) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \text{tg}^2 2\alpha$

Для преобразования левой части воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right)\right)}{2} - \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right)\right)}{2}$. Упростим выражение: $\frac{1}{2} \left( 1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \left(1 + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right)\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) \right)$. Применим формулы приведения. Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, имеем: $\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha$. $\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 4\alpha\right) = -\sin 4\alpha$. Подставим полученные значения обратно в выражение: $\frac{1}{2} (\sin 4\alpha - (-\sin 4\alpha)) = \frac{1}{2} (\sin 4\alpha + \sin 4\alpha) = \frac{1}{2} (2\sin 4\alpha) = \sin 4\alpha$. Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\sin 4\alpha$. Тогда равенство принимает вид: $\sin 4\alpha = \text{tg}^2 2\alpha$. Это равенство не является тождеством, так как оно не выполняется для всех допустимых значений $\alpha$. Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Тогда левая часть: $\sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть: $\text{tg}^2(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \text{tg}^2(\frac{\pi}{6}) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{3}$, исходное равенство не является тождеством. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка. Ответ: Данное равенство не является тождеством.