Номер 26.15, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.15. Используя формулы половинного угла, найдите:

1) $\sin 15^\circ$; 3) $\text{tg } 75^\circ$; 5) $\text{tg } 112^\circ 30';$

2) $\cos 15^\circ$; 4) $\cos 75^\circ$; 6) $\text{tg } \frac{\pi}{8}$.

1) sin 15°;
Для нахождения $ \sin 15^\circ $ используем формулу синуса половинного угла: $ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 15^\circ $, тогда $ \alpha = 30^\circ $.
Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, поэтому синус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 30^\circ $ нам известно: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $.
Это выражение можно упростить, преобразовав подкоренное выражение к полному квадрату: $ \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $.
Таким образом, $ \sin 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

2) cos 15°;
Для нахождения $ \cos 15^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 15^\circ $, тогда $ \alpha = 30^\circ $.
Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, поэтому косинус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 30^\circ $: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} $.
Упростим выражение $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} $, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата: $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

3) tg 75°;
Для нахождения $ \text{tg } 75^\circ $ используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 75^\circ $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $ 150^\circ $:
$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } 75^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 + \sqrt{3} $.
Ответ: $ 2 + \sqrt{3} $.

4) cos 75°;
Для нахождения $ \cos 75^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 75^\circ $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, поэтому косинус этого угла положителен. Знак перед корнем — плюс.
Значение косинуса $ 150^\circ $: $ \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $.
Это выражение равно $ \sin 15^\circ $, как и должно быть, поскольку $ \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ $.
Упростив, как в пункте 1, получаем: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

5) tg 112°30';
Сначала переведем минуты в градусы: $ 112^\circ 30' = 112.5^\circ $.
Используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = 112.5^\circ $, тогда $ \alpha = 2 \cdot 112.5^\circ = 225^\circ $.
Угол $ 112.5^\circ $ находится во второй четверти, поэтому его тангенс отрицателен.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $ 225^\circ $:
$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } 112.5^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(\frac{2}{\sqrt{2}} + 1) = -(\sqrt{2}+1) $.
Ответ: $ -(\sqrt{2}+1) $.

6) tg $\frac{\pi}{8}$;
Используем формулу тангенса половинного угла: $ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Пусть $ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8} $, тогда $ \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.
Угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в первой четверти, поэтому его тангенс положителен.
Значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ нам известны:
$ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg } \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1 $.
Ответ: $ \sqrt{2} - 1 $.