Номер 26.19, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.19. Докажите тождество:

1) $ \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha $

2) $ 1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $

3) $ \frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha $

4) $ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $

1) Докажем тождество $sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = -sin(8\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = (sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha)) \cdot (sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha))$.

Применим формулы преобразования разности и суммы синусов в произведение:

$sin x - sin y = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$

$sin x + sin y = 2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$

В нашем случае $x = \frac{5\pi}{4} - 4\alpha$ и $y = \frac{5\pi}{4} + 4\alpha$. Тогда:

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{5\pi}{4} - 4\alpha + \frac{5\pi}{4} + 4\alpha}{2} = \frac{\frac{10\pi}{4}}{2} = \frac{5\pi}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{\frac{5\pi}{4} - 4\alpha - (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha)}{2} = \frac{-8\alpha}{2} = -4\alpha$

Подставляем эти значения в формулы:

$sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = 2cos(\frac{5\pi}{4})sin(-4\alpha) = -2cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)$.

$sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = 2sin(\frac{5\pi}{4})cos(-4\alpha) = 2sin(\frac{5\pi}{4})cos(4\alpha)$.

Перемножим полученные выражения:

$(-2cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)) \cdot (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(4\alpha)) = -4sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)cos(4\alpha)$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\beta) = 2sin\beta cos\beta$ дважды:

$-2 \cdot (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})) \cdot (sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = - (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})) \cdot (2sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = -sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) \cdot sin(2 \cdot 4\alpha) = -sin(\frac{5\pi}{2})sin(8\alpha)$.

Зная, что $sin(\frac{5\pi}{2}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-1 \cdot sin(8\alpha) = -sin(8\alpha)$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - 2cos(3\alpha) + cos(6\alpha) = -4sin^2(\frac{3\alpha}{2})cos(3\alpha)$.

Преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$. Для $cos(6\alpha)$ имеем $x=3\alpha$:

$cos(6\alpha) = 2cos^2(3\alpha) - 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$1 - 2cos(3\alpha) + (2cos^2(3\alpha) - 1) = 1 - 2cos(3\alpha) + 2cos^2(3\alpha) - 1 = 2cos^2(3\alpha) - 2cos(3\alpha)$.

Вынесем общий множитель $2cos(3\alpha)$ за скобки:

$2cos(3\alpha)(cos(3\alpha) - 1)$.

Воспользуемся формулой, следующей из косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1-2sin^2(x)$, откуда $1-cos(2x) = 2sin^2(x)$. При $2x=3\alpha$, то есть $x = \frac{3\alpha}{2}$, имеем $1 - cos(3\alpha) = 2sin^2(\frac{3\alpha}{2})$. Следовательно, $cos(3\alpha) - 1 = -2sin^2(\frac{3\alpha}{2})$.

Подставим это в наше выражение:

$2cos(3\alpha) \cdot (-2sin^2(\frac{3\alpha}{2})) = -4sin^2(\frac{3\alpha}{2})cos(3\alpha)$.

Получили правую часть тождества.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{ctg(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)} = -\frac{1}{4}sin(8\alpha)$.

Преобразуем левую часть тождества. Начнем с числителя, используя формулу приведения $sin(x - \frac{\pi}{2}) = -cos(x)$:

$sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-cos(4\alpha))^2 = cos^2(4\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулы приведения $ctg(\frac{3\pi}{2} - x) = tg(x)$ и $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$:

$ctg(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = tg(2\alpha) - ctg(2\alpha)$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$tg(2\alpha) - ctg(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)} - \frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = \frac{sin^2(2\alpha) - cos^2(2\alpha)}{sin(2\alpha)cos(2\alpha)}$.

Воспользуемся формулами двойного угла: $cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)$ и $2sin(x)cos(x) = sin(2x)$:

$\frac{-(cos^2(2\alpha) - sin^2(2\alpha))}{\frac{1}{2}(2sin(2\alpha)cos(2\alpha))} = \frac{-cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}sin(4\alpha)} = \frac{-2cos(4\alpha)}{sin(4\alpha)}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{cos^2(4\alpha)}{\frac{-2cos(4\alpha)}{sin(4\alpha)}} = cos^2(4\alpha) \cdot \frac{sin(4\alpha)}{-2cos(4\alpha)} = -\frac{sin(4\alpha)cos(4\alpha)}{2}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, откуда $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$:

$-\frac{1}{2} (sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}sin(8\alpha) = -\frac{1}{4}sin(8\alpha)$.

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{2sin\alpha - sin(2\alpha)}{2sin\alpha + sin(2\alpha)} = tg^2(\frac{\alpha}{2})$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2sin\alpha - 2sin\alpha cos\alpha}{2sin\alpha + 2sin\alpha cos\alpha}$.

Вынесем общий множитель $2sin\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе, а затем сократим дробь (при условии, что $sin\alpha \neq 0$):

$\frac{2sin\alpha(1 - cos\alpha)}{2sin\alpha(1 + cos\alpha)} = \frac{1 - cos\alpha}{1 + cos\alpha}$.

Используем формулы половинного угла, которые следуют из формул косинуса двойного угла: $1 - cos\alpha = 2sin^2(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + cos\alpha = 2cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$\frac{2sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{sin^2(\frac{\alpha}{2})}{cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.

По определению тангенса $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, получаем:

$(\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})})^2 = tg^2(\frac{\alpha}{2})$.

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.