Номер 26.23, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.23. Докажите тождество $\frac{\sin 3\alpha + 4 \sin^3 \alpha}{\cos 3\alpha - 4 \cos^3 \alpha} = \frac{\cos 3\alpha - \cos^3 \alpha}{\sin 3\alpha + \sin^3 \alpha}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, приводя их к одному и тому же выражению.

Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла:

$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Преобразование левой части:

$$ \frac{\sin(3\alpha) + 4\sin^3\alpha}{\cos(3\alpha) - 4\cos^3\alpha} $$

Подставим формулы тройного угла в числитель и знаменатель дроби.

В числителе: $\sin(3\alpha) + 4\sin^3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) + 4\sin^3\alpha = 3\sin\alpha$.

В знаменателе: $\cos(3\alpha) - 4\cos^3\alpha = (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) - 4\cos^3\alpha = -3\cos\alpha$.

Тогда левая часть тождества равна:

$$ \frac{3\sin\alpha}{-3\cos\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha $$

Преобразование правой части:

$$ \frac{\cos(3\alpha) - \cos^3\alpha}{\sin(3\alpha) + \sin^3\alpha} $$

Аналогично подставим формулы тройного угла.

В числителе: $\cos(3\alpha) - \cos^3\alpha = (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) - \cos^3\alpha = 3\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = 3\cos\alpha(\cos^2\alpha - 1)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем: $3\cos\alpha(-\sin^2\alpha) = -3\sin^2\alpha\cos\alpha$.

В знаменателе: $\sin(3\alpha) + \sin^3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) + \sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha)$.

Из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем: $3\sin\alpha\cos^2\alpha$.

Тогда правая часть тождества равна:

$$ \frac{-3\sin^2\alpha\cos\alpha}{3\sin\alpha\cos^2\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha $$

Заключение:

Поскольку в результате преобразований левая и правая части исходного выражения оказались равны одному и тому же выражению ($-\tan\alpha$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.