gdz.top
Номер 26.20, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 26. Формулы двойного, тройного и половинного углов - номер 26.20, страница 192.
№26.19
№26.20 (с. 192)
Условие. №26.20 (с. 192)
26.20. Докажите, что $\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4$.
Решение. №26.20 (с. 192)
Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.
1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя определения $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ \tg 15° + \ctg 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} + \frac{\cos 15°}{\sin 15°} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin 15° \cos 15° $:
$ \frac{\sin 15° \cdot \sin 15° + \cos 15° \cdot \cos 15°}{\sin 15° \cos 15°} = \frac{\sin^2 15° + \cos^2 15°}{\sin 15° \cos 15°} $
3. В числителе дроби получилось выражение, которое соответствует основному тригонометрическому тождеству: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Применим его:
$ \frac{1}{\sin 15° \cos 15°} $
4. Знаменатель дроби преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.
Применительно к нашему случаю, где $ \alpha = 15° $:
$ \sin 15° \cos 15° = \frac{\sin(2 \cdot 15°)}{2} = \frac{\sin 30°}{2} $
5. Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в нашу дробь:
$ \frac{1}{\frac{\sin 30°}{2}} = \frac{2}{\sin 30°} $
6. Значение синуса 30 градусов является табличным: $ \sin 30° = \frac{1}{2} $. Подставим это значение в выражение:
$ \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 $
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 4, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ \tg 15° + \ctg 15° = 4 $ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 26.20 расположенного на странице 192 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №26.20 (с. 192), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.