Номер 26.16, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.16. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{\cot\frac{\alpha}{2} - \tan\frac{\alpha}{2}}$;

2) $(\tan\alpha + \cot\alpha) \sin 2\alpha$;

3) $\frac{4 \tan\alpha (1 - \tan^2\alpha)}{(1 + \tan^2\alpha)^2}$;

4) $\frac{\tan 2\alpha \tan\alpha}{\tan 2\alpha - \tan\alpha}$;

5) $\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$;

6) $2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$.

1) $\frac{1}{\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2}}$

Преобразуем знаменатель, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Используем формулы двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$.

Числитель: $\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$.

Знаменатель: $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Таким образом, знаменатель исходного выражения равен $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = 2\ctg\alpha$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{2\ctg\alpha} = \frac{1}{2}\tg\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\tg\alpha$.

2) $(\tg\alpha + \ctg\alpha)\sin2\alpha$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})\sin2\alpha$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$(\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha})\sin2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}) \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)$

Сокращаем $\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $2$.

3) $\frac{4\tg\alpha(1 - \tg^2\alpha)}{(1 + \tg^2\alpha)^2}$

Перегруппируем множители в выражении:

$2 \cdot \frac{2\tg\alpha}{1 + \tg^2\alpha} \cdot \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$

Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс:

$\sin2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$ и $\cos2\alpha = \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$

Подставим эти формулы в наше выражение:

$2 \cdot \sin2\alpha \cdot \cos2\alpha$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, где $x = 2\alpha$:

$2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin4\alpha$.

Ответ: $\sin4\alpha$.

4) $\frac{\tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha}$

Перевернем дробь, чтобы ее было удобнее преобразовывать:

$\frac{1}{\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} - \frac{\tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1}{\tg 2\alpha}}$

Так как $\frac{1}{\tg x} = \ctg x$, выражение можно переписать как:

$\frac{1}{\ctg\alpha - \ctg 2\alpha}$

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через синусы и косинусы:

$\ctg\alpha - \ctg 2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha}$

В числителе получили формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=2\alpha$ и $B=\alpha$:

$\frac{\sin(2\alpha - \alpha)}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Подставляем это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{\sin 2\alpha}} = \sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$.

5) $\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Разложим числитель. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$

Подставим это обратно в числитель исходной дроби:

$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Теперь все выражение выглядит так:

$\frac{\sin^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\frac{1 - \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$

Разложим числитель как разность квадратов:

$\frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{2(1 - \cos\alpha)}$

Сократим $(1 - \cos\alpha)$:

$\frac{1 + \cos\alpha}{2}$

Это выражение является формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

6) $2\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})$

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$.

Найдем $A+B$ и $A-B$:

$A+B = (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) + (\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$A-B = (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) - (\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) = -\alpha$

Подставим найденные значения в формулу:

$\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(-\alpha)$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$.

$0 + \cos\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.