Номер 26.14, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.14. Дано: $\cos\alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$ и $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулами половинного угла и данными из условия: $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ на 2, получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и, следовательно, все его тригонометрические функции ($\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$) будут положительными.

$\sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса половинного угла: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

Подставим известное значение $\cos\alpha$: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4-3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$. Извлекаем квадратный корень: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $

Подставим известное значение $\cos\alpha$: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4+3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$. Извлекаем квадратный корень: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $

Подставим найденные значения: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{7}$