Номер 26.7, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.7. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos 4\alpha;$

2) $1 + \cos \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha};$

3) $1 - \cos 50^\circ;$

4) $1 + \sin 2\alpha.$

1) $1 - \cos 4\alpha$

Для преобразования этого выражения воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен $4\alpha$. Пусть $2x = 4\alpha$, тогда $x = 2\alpha$.

Подставим это в формулу:

$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$.

Это выражение уже является произведением: $2 \cdot \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\alpha)$.

Ответ: $2\sin^2(2\alpha)$.

2) $1 + \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}$

Сначала упростим дробную часть выражения, приведя дроби к общему знаменателю $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:

$\frac{\cos(6\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos(6\alpha)\cos(2\alpha) + \sin(6\alpha)\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$.

В числителе мы видим формулу косинуса разности углов $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Применив ее, получаем: $\cos(6\alpha - 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

В знаменателе мы видим выражение, связанное с синусом двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Применив эту формулу к знаменателю, получаем: $\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha)$.

Таким образом, дробная часть равна: $\frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = 2\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = 2\cot(4\alpha)$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$1 + \frac{\cos(6\alpha)}{\sin(2\alpha)} + \frac{\sin(6\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1 + 2\cot(4\alpha)$.

Полученное выражение $1 + 2\cot(4\alpha)$ является суммой и не может быть преобразовано в произведение с помощью стандартных тригонометрических тождеств. Если записать результат в виде дроби, он будет иметь вид:

$\frac{\sin(4\alpha) + 2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}$.

Ответ: Выражение упрощается до $1 + 2\cot(4\alpha)$, что не является произведением. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

3) $1 - \cos 50^{\circ}$

Используем ту же формулу понижения степени, что и в первом пункте: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В данном случае $2x = 50^{\circ}$, следовательно, $x = 25^{\circ}$.

Подставляем в формулу:

$1 - \cos(50^{\circ}) = 2\sin^2(25^{\circ})$.

Ответ: $2\sin^2(25^{\circ})$.

4) $1 + \sin 2\alpha$

Для преобразования этого выражения в произведение воспользуемся формулой приведения и формулой для суммы с единицей.

Сначала представим синус как косинус, используя формулу приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$:

$1 + \sin(2\alpha) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.

Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos(y) = 2\cos^2(\frac{y}{2})$.

В нашем случае $y = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, тогда $\frac{y}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Подставляем и получаем:

$1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.