Вопросы?, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Запишите формулы косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента.

2. Запишите формулы понижения степени.

3. Какие формулы называют формулами тройного аргумента?

4. Запишите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.

1. Запишите формулы косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента.

Формулы двойного аргумента (или двойного угла) выражают тригонометрические функции угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$.

• Синус двойного аргумента:
  $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

• Косинус двойного аргумента (имеет три основные формы):
  $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$
  $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$
  $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

• Тангенс двойного аргумента:
  $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Ответ:

2. Запишите формулы понижения степени.

Формулы понижения степени позволяют выразить квадраты синуса, косинуса и тангенса через тригонометрические функции первой степени, но с удвоенным аргументом. Они выводятся из формул косинуса двойного угла.

• Для квадрата синуса:
  $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата косинуса:
  $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата тангенса:
  $\tan^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$

Ответ:

3. Какие формулы называют формулами тройного аргумента?

Формулами тройного аргумента называют формулы, которые выражают тригонометрические функции угла $3\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$.

• Синус тройного аргумента:
  $\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$

• Косинус тройного аргумента:
  $\cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)$

• Тангенс тройного аргумента:
  $\tan(3\alpha) = \frac{3\tan(\alpha) - \tan^3(\alpha)}{1 - 3\tan^2(\alpha)}$

Ответ:

4. Запишите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они получаются из формул понижения степени. Знак ($\pm$) перед корнем зависит от четверти, в которой находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

• Синус половинного угла:
  $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$

• Косинус половинного угла:
  $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$

• Тангенс половинного угла (несколько форм):
  $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}}$
  Также существуют формы без знака $\pm$, которые удобнее в использовании:
  $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$
  $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: