Номер 25.9, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.9. Упростите выражение:

1) $\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\mathrm{tg}(\pi+\alpha);$

2) $\frac{\cos^2(20^\circ-\alpha)}{\sin^2(70^\circ+\alpha)}+\mathrm{tg}(\alpha+10^\circ)\mathrm{ctg}(80^\circ-\alpha).$

1) Упростим выражение по частям.
Сначала рассмотрим сумму квадратов: $cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.
Используем формулу приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$. Преобразуем второй член:
$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = sin(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.
Тогда $cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.
Сумма принимает вид: $cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, эта часть выражения равна 1.

Теперь упростим произведение: $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)tg(\pi + \alpha)$.
Применим формулы приведения для каждого множителя:
$sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$, так как угол находится в III четверти, где синус отрицательный, и функция меняется на кофункцию.
$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$, так как угол находится в IV четверти, где косинус положительный, и функция меняется на кофункцию.
$tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$, так как угол находится в III четверти, где тангенс положительный, и функция не меняется.
Перемножим полученные выражения:
$(-cos(\alpha))(sin(\alpha))(tg(\alpha)) = -cos(\alpha)sin(\alpha)\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = -sin^2(\alpha)$.

Сложим результаты обеих частей: $1 + (-sin^2(\alpha)) = 1 - sin^2(\alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 - sin^2(\alpha) = cos^2(\alpha)$.

Ответ: $cos^2(\alpha)$.

2) Упростим выражение по частям.
Рассмотрим первое слагаемое, которое является дробью: $\frac{cos^2(20^\circ - \alpha)}{sin^2(70^\circ + \alpha)}$.
Используем формулу приведения $sin(x) = cos(90^\circ - x)$. Преобразуем знаменатель:
$sin(70^\circ + \alpha) = sin(90^\circ - 20^\circ + \alpha) = sin(90^\circ - (20^\circ - \alpha))$.
Применяя формулу, получаем $cos(20^\circ - \alpha)$.
Следовательно, $sin^2(70^\circ + \alpha) = cos^2(20^\circ - \alpha)$.
Тогда дробь равна $\frac{cos^2(20^\circ - \alpha)}{cos^2(20^\circ - \alpha)} = 1$.

Рассмотрим второе слагаемое, которое является произведением: $tg(\alpha + 10^\circ)ctg(80^\circ - \alpha)$.
Используем формулу приведения $ctg(x) = tg(90^\circ - x)$. Преобразуем второй множитель:
$ctg(80^\circ - \alpha) = tg(90^\circ - (80^\circ - \alpha)) = tg(90^\circ - 80^\circ + \alpha) = tg(10^\circ + \alpha)$.
Тогда произведение принимает вид: $tg(\alpha + 10^\circ) \cdot tg(10^\circ + \alpha) = tg^2(\alpha + 10^\circ)$.

Теперь сложим результаты simplification обеих частей: $1 + tg^2(\alpha + 10^\circ)$.
Используя тригонометрическое тождество $1 + tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$, получаем конечный результат.
$1 + tg^2(\alpha + 10^\circ) = \frac{1}{cos^2(\alpha + 10^\circ)}$.

Ответ: $\frac{1}{cos^2(\alpha + 10^\circ)}$.