Номер 25.2, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.2. Вычислите:

1) $\tan 210^\circ;$

2) $\cot 315^\circ;$

3) $\cos (-150^\circ);$

4) $\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right).$

1) tg 210°;

Для вычисления тангенса 210° воспользуемся формулами приведения. Угол 210° находится в третьей координатной четверти (180° < 210° < 270°), где тангенс имеет положительный знак.

Представим угол 210° в виде суммы 180° и 30°:

$tg(210°) = tg(180° + 30°)$

Согласно формуле приведения $tg(180° + \alpha) = tg(\alpha)$, получаем:

$tg(180° + 30°) = tg(30°)$

Значение тангенса 30° является табличным:

$tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

2) ctg 315°;

Для вычисления котангенса 315° используем формулы приведения. Угол 315° находится в четвертой координатной четверти (270° < 315° < 360°), где котангенс имеет отрицательный знак.

Представим угол 315° в виде разности 360° и 45°:

$ctg(315°) = ctg(360° - 45°)$

Согласно формуле приведения $ctg(360° - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:

$ctg(360° - 45°) = -ctg(45°)$

Значение котангенса 45° является табличным и равно 1:

$-ctg(45°) = -1$

Ответ: -1

3) cos(-150°);

Сначала воспользуемся свойством четности косинуса. Косинус — четная функция, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-150°) = cos(150°)$

Теперь применим формулы приведения для угла 150°. Угол 150° находится во второй координатной четверти (90° < 150° < 180°), где косинус имеет отрицательный знак.

Представим 150° в виде разности 180° и 30°:

$cos(150°) = cos(180° - 30°)$

Согласно формуле приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:

$cos(180° - 30°) = -cos(30°)$

Значение косинуса 30° является табличным:

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом:

$-cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) sin(-5π/3);

Сначала воспользуемся свойством нечетности синуса. Синус — нечетная функция, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3})$

Далее можно использовать формулы приведения. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{3}$ в виде разности $2\pi - \frac{\pi}{3}$:

$-sin(\frac{5\pi}{3}) = -sin(2\pi - \frac{\pi}{3})$

Согласно формуле приведения $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:

$-sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-sin(\frac{\pi}{3})) = sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса $\frac{\pi}{3}$ (или 60°) является табличным:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Альтернативный способ:

Можно использовать периодичность синуса ($sin(\alpha + 2\pi k) = sin(\alpha)$, где k - целое число). Добавим к углу полный оборот $2\pi$:

$sin(-\frac{5\pi}{3}) = sin(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = sin(-\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$