Номер 24.36, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.36. Докажите неравенство $ \sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta $, где $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

Для доказательства неравенства $ \sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta $ при условиях $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha + \cos\beta $.

Рассмотрим условия, заданные для углов $ \alpha $ и $ \beta $. Поскольку оба угла находятся в первой координатной четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $), значения их синусов и косинусов положительны и строго меньше единицы:
$ 0 < \sin\alpha < 1 $
$ 0 < \cos\alpha > 0 $
$ 0 < \sin\beta < 1 $
$ 0 < \cos\beta > 0 $

Теперь проведем сравнение слагаемых в левой и правой частях неравенства.

1. Сравним $ \sin\alpha \cos\beta $ и $ \cos\beta $.
Из условия $ 0 < \sin\alpha < 1 $ и того, что $ \cos\beta > 0 $, следует, что при умножении неравенства $ \sin\alpha < 1 $ на положительное число $ \cos\beta $ знак неравенства сохранится:
$ \sin\alpha \cdot \cos\beta < 1 \cdot \cos\beta $
то есть, $ \sin\alpha \cos\beta < \cos\beta $. (1)

2. Сравним $ \cos\alpha \sin\beta $ и $ \cos\alpha $.
Аналогично, из условия $ 0 < \sin\beta < 1 $ и того, что $ \cos\alpha > 0 $, следует:
$ \sin\beta \cdot \cos\alpha < 1 \cdot \cos\alpha $
то есть, $ \cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha $. (2)

Теперь сложим почленно два верных неравенства (1) и (2):
$ (\sin\alpha \cos\beta) + (\cos\alpha \sin\beta) < (\cos\beta) + (\cos\alpha) $.

Выражение в левой части полученного неравенства является формулой синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $. Следовательно, мы доказали, что:
$ \sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $ \sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta $ при заданных условиях является верным, что и требовалось доказать.