gdz.top
Номер 24.37, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 24. Формулы сложения - номер 24.37, страница 180.
№24.36
№24.37 (с. 180)
Условие. №24.37 (с. 180)
24.37. Докажите неравенство $ \cos(\alpha - \beta) < \cos \alpha + \sin \beta $, где $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.
Решение. №24.37 (с. 180)
Для доказательства неравенства $cos(α - β) < cos α + sin β$ при условиях $0 < α < \frac{π}{2}$ и $0 < β < \frac{π}{2}$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой косинуса разности:
$cos(α - β) = cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β$.
Теперь неравенство принимает вид:
$cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β < cos α + sin β$.
Проанализируем значения тригонометрических функций для заданных углов.
Поскольку угол $α$ находится в первой четверти ($0 < α < \frac{π}{2}$), для него справедливы следующие неравенства:
$cos α > 0$ и $0 < sin α < 1$.
Аналогично, для угла $β$, который также находится в первой четверти ($0 < β < \frac{π}{2}$):
$sin β > 0$ и $0 < cos β < 1$.
Теперь рассмотрим два отдельных неравенства.
1. Сравним выражения $cos α$ и $cos α \cdot cos β$. Так как $cos α$ — положительное число, а $0 < cos β < 1$, то произведение $cos α \cdot cos β$ будет строго меньше, чем $cos α$.
$cos α \cdot cos β < cos α$.
2. Сравним выражения $sin β$ и $sin α \cdot sin β$. Так как $sin β$ — положительное число, а $0 < sin α < 1$, то произведение $sin α \cdot sin β$ будет строго меньше, чем $sin β$.
$sin α \cdot sin β < sin β$.
Сложим почленно два полученных верных неравенства:
$(cos α \cdot cos β) + (sin α \cdot sin β) < cos α + sin β$.
Заметив, что левая часть полученного неравенства является разложением $cos(α - β)$, мы приходим к исходному неравенству:
$cos(α - β) < cos α + sin β$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 24.37 расположенного на странице 180 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.37 (с. 180), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.