Номер 24.31, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.31. Дано: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\sin \beta = \frac{5\sqrt{7}}{14}$, $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$, $0^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$. Найдите $\alpha + \beta$.

Для нахождения суммы углов $α + β$ воспользуемся формулой косинуса суммы, так как для неё будет проще найти недостающие значения:
$\cos(α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
По условию задачи нам известны $\cos α$ и $\sin β$. Необходимо найти $\sin α$ и $\cos β$.

Найдем $\sin α$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$.
$\sin^2 α = 1 - \cos^2 α = 1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{21}{49} = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
Поскольку по условию $0° < α < 90°$, угол $α$ находится в I четверти, где синус положителен.
Следовательно, $\sin α = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.

Аналогично найдем $\cos β$ из того же тождества: $\sin^2 β + \cos^2 β = 1$.
$\cos^2 β = 1 - \sin^2 β = 1 - \left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right)^2 = 1 - \frac{25 \cdot 7}{196} = 1 - \frac{175}{196}$.
Сократим дробь $\frac{175}{196}$, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{175}{196} = \frac{25}{28}$.
$\cos^2 β = 1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$.
Поскольку $0° < β < 90°$, угол $β$ находится в I четверти, где косинус положителен.
Следовательно, $\cos β = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Теперь, имея все необходимые значения, можем вычислить $\cos(α + β)$:
$\cos(α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} - \frac{2\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14}$
$\cos(α + β) = \frac{21}{98} - \frac{2 \cdot 5 \cdot (\sqrt{7})^2}{98} = \frac{21}{98} - \frac{10 \cdot 7}{98} = \frac{21 - 70}{98} = \frac{-49}{98} = -\frac{1}{2}$.

Мы получили, что $\cos(α + β) = -\frac{1}{2}$. Осталось найти саму сумму $α + β$. Для этого определим диапазон ее возможных значений.
Из условий $0° < α < 90°$ и $0° < β < 90°$ путем сложения неравенств получаем:
$0° + 0° < α + β < 90° + 90°$
$0° < α + β < 180°$.
Единственный угол в диапазоне от $0°$ до $180°$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, — это $120°$.
Таким образом, $α + β = 120°$.

Ответ: $120°$.