Номер 24.29, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.29. Дано: $ \text{tg } \alpha = \frac{1}{4} $, $ \text{tg } \beta = \frac{5}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $. Найдите $ \alpha - \beta $.

Для нахождения разности $\alpha - \beta$ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи: $\tg \alpha = \frac{1}{4}$ и $\tg \beta = \frac{5}{3}$.

$$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{3}}{1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{\frac{3 - 20}{12}}{1 + \frac{5}{12}} = \frac{-\frac{17}{12}}{\frac{12+5}{12}} = \frac{-\frac{17}{12}}{\frac{17}{12}} = -1$$

Таким образом, мы получили, что $\tg(\alpha - \beta) = -1$. Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:

$$\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

Чтобы найти конкретное значение разности, необходимо определить диапазон, в котором она может находиться. По условию даны следующие ограничения на углы $\alpha$ и $\beta$:

$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$

$$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$$

Умножим второе неравенство на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$$-\frac{\pi}{2} < -\beta < 0$$

Теперь сложим почленно неравенство для $\alpha$ и преобразованное неравенство для $-\beta$:

$$0 + (-\frac{\pi}{2}) < \alpha + (-\beta) < \frac{\pi}{2} + 0$$

$$-\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$$

Теперь выберем из общего решения $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ то значение, которое удовлетворяет полученному неравенству $-\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$.

• При $k=0$ получаем $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4}$. Это значение входит в наш интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• При $k=1$ получаем $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это значение не входит в наш интервал.
• При $k=-1$ получаем $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$. Это значение также не входит в наш интервал.

Следовательно, единственным подходящим решением является $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$