Номер 24.24, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.24. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha$;

2) $\sqrt{5} \cos \alpha - 2\sqrt{5} \sin \alpha$;

3) $3 \sin \alpha + \cos \alpha$.

Для нахождения наибольшего значения выражений вида $A \cos\alpha + B \sin\alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Согласно этому методу, выражение можно преобразовать к виду $R \cos(\alpha \mp \phi)$ или $R \sin(\alpha \pm \phi)$, где $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Поскольку наибольшее значение синуса и косинуса равно 1, наибольшее значение исходного выражения равно $R$.

1) Рассмотрим выражение $\sqrt{3} \cos\alpha - \sin\alpha$.

Это выражение имеет вид $A \cos\alpha + B \sin\alpha$, где $A = \sqrt{3}$ и $B = -1$.

Наибольшее значение равно $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

Вычислим $R$:

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Для наглядности преобразуем исходное выражение:

$\sqrt{3} \cos\alpha - \sin\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha - \frac{1}{2} \sin\alpha \right)$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, мы можем применить формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:

$2 \left( \cos\frac{\pi}{6} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6} \sin\alpha \right) = 2 \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Наибольшее значение функции $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{5} \cos\alpha - 2\sqrt{5} \sin\alpha$.

В данном случае коэффициенты $A = \sqrt{5}$ и $B = -2\sqrt{5}$.

Применяя тот же метод, находим наибольшее значение как $\sqrt{A^2 + B^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 4 \cdot 5} = \sqrt{5 + 20} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 5.

Ответ: 5.

3) Рассмотрим выражение $3\sin\alpha + \cos\alpha$.

Перепишем его в виде $\cos\alpha + 3\sin\alpha$ для удобства.

Здесь коэффициенты $A = 1$ и $B = 3$.

Наибольшее значение выражения равно $\sqrt{A^2 + B^2}$:

$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно $\sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.