Номер 24.20, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.20. Упростите выражение:

1) $\tan 80^\circ - \tan 20^\circ - \sqrt{3}\tan 80^\circ \tan 20^\circ;$

2) $\tan 35^\circ + \tan 10^\circ + \tan 35^\circ \tan 10^\circ.$

1) $\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ - \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$

Пусть $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 20^\circ$. Тогда разность углов будет $\alpha - \beta = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.

Значение тангенса этого угла известно: $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Подставим наши углы в формулу:

$\text{tg}(80^\circ - 20^\circ) = \frac{\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ}{1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ}$

Приравняем это выражение к значению $\text{tg}60^\circ$:

$\frac{\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ}{1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ} = \sqrt{3}$

Теперь выразим из этого уравнения разность тангенсов $\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ$, умножив обе части на знаменатель $(1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ)$:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ = \sqrt{3}(1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ)$

Раскроем скобки в правой части:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ = \sqrt{3} + \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$

Перенесем член $\sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$ в левую часть уравнения, чтобы получить исходное выражение:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ - \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ = \sqrt{3}$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) $\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ + \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$

Пусть $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Тогда сумма углов будет $\alpha + \beta = 35^\circ + 10^\circ = 45^\circ$.

Значение тангенса этого угла известно: $\text{tg}(45^\circ) = 1$.

Подставим наши углы в формулу:

$\text{tg}(35^\circ + 10^\circ) = \frac{\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ}{1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ}$

Приравняем это выражение к значению $\text{tg}45^\circ$:

$\frac{\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ}{1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ} = 1$

Теперь выразим из этого уравнения сумму тангенсов $\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ$, умножив обе части на знаменатель $(1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ)$:

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ = 1 \cdot (1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ)$

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ = 1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$

Перенесем член $-\text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$ в левую часть уравнения, чтобы получить исходное выражение:

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ + \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ = 1$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: $1$