Номер 24.17, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) sin 15°

Для нахождения значения $sin 15°$ воспользуемся формулой синуса разности, представив $15°$ как разность углов $45°$ и $30°$.

Формула синуса разности: $sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)$.

Применим эту формулу:

$sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°)$.

Подставим известные значения тригонометрических функций для углов $45°$ и $30°$:

$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(30°) = \frac{1}{2}$, $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выполним вычисления:

$sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) sin 105°

Для нахождения значения $sin 105°$ воспользуемся формулой синуса суммы, представив $105°$ как сумму углов $60°$ и $45°$.

Формула синуса суммы: $sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$.

Применим эту формулу:

$sin(105°) = sin(60° + 45°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)$.

Подставим известные значения тригонометрических функций для углов $60°$ и $45°$:

$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60°) = \frac{1}{2}$, $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$sin(105°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) ctg 105°

Для нахождения значения $ctg 105°$ воспользуемся определением котангенса: $ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)}$.

Значение $sin(105°)$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $sin(105°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем $cos(105°)$, используя формулу косинуса суммы, представив $105°$ как $60° + 45°$.

Формула косинуса суммы: $cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$.

$cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)$.

Подставим известные значения:

$cos(105°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Теперь вычислим котангенс:

$ctg(105°) = \frac{cos(105°)}{sin(105°)} = \frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$.

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{2} - \sqrt{6})$:

$ctg(105°) = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6})(\sqrt{2} - \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{2 - 2\sqrt{12} + 6}{2 - 6} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{-4}$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$ctg(105°) = \frac{8}{-4} - \frac{4\sqrt{3}}{-4} = -2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} - 2$.