Номер 24.21, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.21. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta;$

2) $\frac{\text{tg}^2\alpha - \text{tg}^2\beta}{1 - \text{tg}^2\alpha \text{tg}^2\beta} = \text{tg}(\alpha + \beta)\text{tg}(\alpha - \beta);$

3) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{tg}(\alpha - \beta)} + 2\text{tg}^2\alpha = \frac{2}{\cos^2\alpha}.$

1)Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем формулы синуса суммы и разности:
$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$
Перемножим эти выражения:
$sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)(sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$(sin\alpha cos\beta)^2 - (cos\alpha sin\beta)^2 = sin^2\alpha cos^2\beta - cos^2\alpha sin^2\beta$
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$, чтобы выразить косинусы через синусы:
$sin^2\alpha (1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha)sin^2\beta$
Раскроем скобки:
$sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta - sin^2\beta + sin^2\alpha sin^2\beta$
Сократим подобные слагаемые:
$sin^2\alpha - sin^2\beta$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

2)Преобразуем левую часть тождества. Числитель и знаменатель представляют собой разность квадратов:
$\frac{tg^2\alpha - tg^2\beta}{1 - tg^2\alpha tg^2\beta} = \frac{(tg\alpha - tg\beta)(tg\alpha + tg\beta)}{(1 - tg\alpha tg\beta)(1 + tg\alpha tg\beta)}$
Сгруппируем множители:
$\frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta} \cdot \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$
Узнаем формулы тангенса суммы и разности углов:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$
$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$
Подставив их в наше выражение, получаем:
$tg(\alpha + \beta)tg(\alpha - \beta)$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

3)Преобразуем левую часть тождества. Начнем с первых двух слагаемых, подставив в знаменатели формулы тангенса суммы и разности:
Первое слагаемое: $\frac{tg\alpha + tg\beta}{tg(\alpha + \beta)} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{\frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}} = 1 - tg\alpha tg\beta$
Второе слагаемое: $\frac{tg\alpha - tg\beta}{tg(\alpha - \beta)} = \frac{tg\alpha - tg\beta}{\frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}} = 1 + tg\alpha tg\beta$
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть исходного тождества:
$(1 - tg\alpha tg\beta) + (1 + tg\alpha tg\beta) + 2tg^2\alpha$
Сложим и сократим слагаемые:
$1 + 1 - tg\alpha tg\beta + tg\alpha tg\beta + 2tg^2\alpha = 2 + 2tg^2\alpha$
Вынесем общий множитель за скобки:
$2(1 + tg^2\alpha)$
Используем тригонометрическое тождество $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$2 \cdot \frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{2}{cos^2\alpha}$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.