Номер 24.25, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.25. Дано: $\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -\frac{2}{5}$, $\frac{5\pi}{6} < \alpha < \frac{4\pi}{3}$. Найдите $\sin \alpha$.

Для решения задачи введем замену $ \beta = \frac{\pi}{3} - \alpha $. Из условия следует, что $ \cos \beta = -\frac{2}{5} $.

Найдем, в какой четверти лежит угол $ \beta $, используя данное неравенство для $ \alpha $: $ \frac{5\pi}{6} < \alpha < \frac{4\pi}{3} $. Сначала умножим все части неравенства на -1, что изменит знаки неравенства на противоположные:$ -\frac{4\pi}{3} < -\alpha < -\frac{5\pi}{6} $. Теперь прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:$ \frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} < \frac{\pi}{3} - \alpha < \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} $. Выполним вычисления:$ \frac{\pi - 4\pi}{3} < \beta < \frac{2\pi - 5\pi}{6} $$ -\frac{3\pi}{3} < \beta < -\frac{3\pi}{6} $$ -\pi < \beta < -\frac{\pi}{2} $. Это означает, что угол $ \beta $ находится в третьей координатной четверти.

Теперь найдем $ \sin \beta $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $.$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} $. Поскольку угол $ \beta $ лежит в третьей четверти, его синус должен быть отрицательным. Следовательно, $ \sin \beta = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} $.

Теперь выразим $ \alpha $ через $ \beta $ из нашей замены: $ \alpha = \frac{\pi}{3} - \beta $. Найдем $ \sin \alpha $, применив формулу синуса разности $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:$ \sin \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\beta) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\beta) $.

Подставим известные значения: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, $ \cos \beta = -\frac{2}{5} $ и $ \sin \beta = -\frac{\sqrt{21}}{5} $.$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}{10} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}{10} $