Номер 24.30, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.30. Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\sin\beta = \frac{\sqrt{21}}{14}$, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $0^\circ < \beta < 90^\circ$. Найдите $\alpha + \beta$.

Для того чтобы найти сумму углов $ \alpha + \beta $, мы можем вычислить значение одной из тригонометрических функций этой суммы, например, $ \cos(\alpha + \beta) $. Формула косинуса суммы выглядит так: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

Нам даны значения $ \sin \alpha $ и $ \sin \beta $. Необходимо найти $ \cos \alpha $ и $ \cos \beta $. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, откуда $ \cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x} $.

По условию, углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в диапазоне от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $, то есть в первой координатной четверти. В этой четверти косинус положителен, поэтому мы будем использовать знак «+» перед корнем.

1. Найдем $ \cos \alpha $:
$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{7} $
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{21}{49} = \frac{49-21}{49} = \frac{28}{49} $
$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{28}{49}} = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{7} = \frac{2\sqrt{7}}{7} $

2. Найдем $ \cos \beta $:
$ \sin \beta = \frac{\sqrt{21}}{14} $
$ \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)^2 = 1 - \frac{21}{196} = \frac{196-21}{196} = \frac{175}{196} $
$ \cos \beta = \sqrt{\frac{175}{196}} = \frac{\sqrt{175}}{\sqrt{196}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{14} = \frac{5\sqrt{7}}{14} $

3. Вычислим $ \cos(\alpha + \beta) $:
Подставим все известные значения в формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right) \cdot \left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right) - \left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) $
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{2 \cdot 5 \cdot (\sqrt{7})^2}{7 \cdot 14} - \frac{(\sqrt{21})^2}{7 \cdot 14} $
$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{10 \cdot 7}{98} - \frac{21}{98} = \frac{70}{98} - \frac{21}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2} $

Теперь нам нужно найти угол $ \alpha + \beta $, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $. Определим возможный диапазон для суммы углов. Так как $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $ и $ 0^\circ < \beta < 90^\circ $, то, сложив эти неравенства, получаем: $ 0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ $

В интервале от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ существует единственный угол, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $, и это $ 60^\circ $. Следовательно, $ \alpha + \beta = 60^\circ $.

Ответ: $ 60^\circ $.