Номер 24.33, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.33. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\mathrm{tg}3x - \mathrm{tg}x}{1 + \mathrm{tg}3x \mathrm{tg}x}$;

2) $y = \frac{\mathrm{tg}x - 1}{\mathrm{tg}x + 1}$.

1) $y = \frac{\tg(3x) - \tg(x)}{1 + \tg(3x)\tg(x)}$

Для построения графика сначала упростим выражение для функции. Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$. Тогда:

$y = \tg(3x - x) = \tg(2x)$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \tg(2x)$ за исключением точек, в которых исходная функция не определена.

Найдем область определения исходной функции (ОДЗ). Функция не определена в следующих случаях:

1. Когда не определен $\tg(x)$, то есть когда $\cos(x) = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Когда не определен $\tg(3x)$, то есть когда $\cos(3x) = 0$. Это происходит при $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, или $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Когда знаменатель дроби равен нулю: $1 + \tg(3x)\tg(x) = 0$. Это условие соответствует случаю, когда $\tg(3x-x)$ не определен, то есть $\cos(2x) = 0$. Это происходит при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для всех целых $m, n, k$.

Теперь рассмотрим упрощенную функцию $y = \tg(2x)$. Ее область определения — все $x$, кроме тех, где $\cos(2x) = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Эти точки являются вертикальными асимптотами графика $y = \tg(2x)$ и совпадают с третьим условием нашего ОДЗ.

Первые два условия ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$ и $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$) задают точки, которые должны быть "выколоты" из графика функции $y = \tg(2x)$. Найдем координаты этих точек:

• Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, то $y = \tg(2(\frac{\pi}{2} + \pi m)) = \tg(\pi + 2\pi m) = 0$. Значит, выкалываются точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi m, 0)$.
• Если $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, то $y = \tg(2(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})) = \tg(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$. В зависимости от $n$, значения тангенса будут $\sqrt{3}$ или $-\sqrt{3}$ (например, при $n=0, x=\pi/6, y=\sqrt{3}$; при $n=2, x=5\pi/6, y=-\sqrt{3}$). При $n=1,4,7,...$ (т.е. $n \equiv 1 \pmod 3$), $x$ совпадает с точками из первого случая. Таким образом, выкалываются точки $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \tg(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}))$ при $n \not\equiv 1 \pmod 3$.

Для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \tg(2x)$. Это тангенсоида, сжатая в 2 раза по оси $Ox$, с периодом $T = \frac{\pi}{2}$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2. "Выколоть" на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi m, 0)$ и $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \tg(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}))$ для всех целых $m, n$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(2x)$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{2} + \pi m, 0)$ и $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \tg(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}))$ при $m, n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\tg(x) - 1}{\tg(x) + 1}$

Для построения графика сначала упростим выражение. Заметим, что $1 = \tg(\frac{\pi}{4})$. Подставим это значение в формулу:

$y = \frac{\tg(x) - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg(x) \cdot 1} = \frac{\tg(x) - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg(x)\tg(\frac{\pi}{4})}$

Это выражение является формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Тогда:

$y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с учетом области определения исходной функции.

Найдем ОДЗ исходной функции:

1. Тангенс $\tg(x)$ должен быть определен, то есть $\cos(x) \neq 0$. Это происходит при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\tg(x) + 1 \neq 0$, то есть $\tg(x) \neq -1$. Это происходит при $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k$ для всех целых $n, k$.

Теперь рассмотрим упрощенную функцию $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$. Ее область определения — все $x$, кроме тех, где $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0$. Это условие дает $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, откуда $x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$.

Заметим, что множество точек $x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$ совпадает с множеством точек $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (например, при $m=k-1$). Таким образом, вертикальные асимптоты графика $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ совпадают со вторым условием нашего ОДЗ.

Первое условие ОДЗ, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, задает точки, которые должны быть "выколоты" из графика функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$. Найдем координаты этих точек:

Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $y = \tg((\frac{\pi}{2} + \pi n) - \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4} + \pi n) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, нужно выколоть точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 1)$.

Для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$. Это график $y = \tg(x)$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{4}$. Период $T = \pi$, вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

2. "Выколоть" на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 1)$ для всех целых $n$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 1)$ при $n \in \mathbb{Z}$.