Номер 24.38, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.38. Известно, что $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \ge \sqrt{5}$. Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le 2$.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Рассмотрим на координатной плоскости три единичных вектора, соответствующих углам $ \alpha, \beta, \gamma $:

$ \vec{v_1} = (\cos \alpha, \sin \alpha) $
$ \vec{v_2} = (\cos \beta, \sin \beta) $
$ \vec{v_3} = (\cos \gamma, \sin \gamma) $

Длина (модуль) каждого из этих векторов равна 1, так как для любого угла $ \theta $ выполняется $ \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1 $.

Рассмотрим вектор $ \vec{V} $, который является их суммой: $ \vec{V} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3} $. Его координаты равны сумме соответствующих координат слагаемых: $ \vec{V} = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma, \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) $. Обозначим координаты вектора $ \vec{V} $ как $ (X, Y) $, где $ X = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma $ и $ Y = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma $. По условию задачи нам дано, что $ Y \ge \sqrt{5} $. Требуется доказать, что $ X \le 2 $.

Согласно неравенству треугольника для векторов, модуль суммы векторов не превышает суммы их модулей: $ |\vec{V}| = |\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}| \le |\vec{v_1}| + |\vec{v_2}| + |\vec{v_3}| $. Так как векторы единичные, получаем $ |\vec{V}| \le 1 + 1 + 1 = 3 $. Возводя обе части в квадрат, имеем $ |\vec{V}|^2 \le 9 $.

С другой стороны, квадрат модуля вектора $ \vec{V} $ равен сумме квадратов его координат: $ |\vec{V}|^2 = X^2 + Y^2 $. Объединяя эти факты, получаем неравенство:

$ X^2 + Y^2 \le 9 $.

Теперь воспользуемся условием $ Y \ge \sqrt{5} $. Поскольку обе части этого неравенства неотрицательны (так как $ \sqrt{5} > 0 $), мы можем возвести его в квадрат, не меняя знака неравенства: $ Y^2 \ge 5 $.

Подставим эту оценку для $ Y^2 $ в наше неравенство:

$ X^2 + 5 \le X^2 + Y^2 \le 9 $.

Отсюда следует, что $ X^2 \le 9 - 5 $, то есть $ X^2 \le 4 $. Это неравенство эквивалентно $ |X| \le 2 $, или $ -2 \le X \le 2 $. Следовательно, $ X \le 2 $.

Поскольку $ X = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma $, мы доказали требуемое утверждение: $ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le 2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.